под руководством профессоров Н. П. Долбилина, Н. Г. Мощевитина, М. Д. Ковалева и И.Х.Сабитова весной 2024г. будет проходить по вторникам в 16:45 в удалённом режиме.
Заседание 7 мая 2024
Доклад Олега Щербакова (Университетская гимназия МГУ)
Мультиобходы и многогранники бинарных деревьев
Аннотация
Минимальные заполнения конечных метрических пространств — объект, возникший как обобщение понятий
кратчайшего дерева и минимального заполнения в смысле Громова. Как известно, вес минимального заполнения данного типа может быть найден как решение задачи линейного программирования или в терминах так называемых неприводимых мультиобходов бинарных деревьев, о чем далее подробнее.
Бинарное дерево — дерево у которого степень каждой вершины 1 или 3. Мультиобход, грубо говоря, — это
цикл, состоящий из простых путей между граничными вершинами дерева и проходящий через каждое ребро
ровно 2ℓ раз. Из множества мультиобходов можно построить аддитивную полугруппу, при этом естественно возникают т.н. неприводимые мультиобходы. Мультиобход σ называется неприводимым, если мультиобход
nσ не раскладывается нетривиальным образом в сумму ξ + η. Каждому бинарному дереву с m граничными
вершинами можно поставить в соответствие некоторый выпуклый многогранник размерности $C^2_m−2$
(это некоторое допустимое множество в задаче линейного программирования). Оказалось, что вершины многогранника находятся во взаимно-однозначном соответствии с неприводимыми мультиобходами.
Автору удалось получить ряд результатов:
• Найдены координаты вершин многогранника и формула веса минимального параметрического заполнения для бинарного дерева типа “змея”, оказывется это некоторые вершины многомерного куба.
• Для бинарного дерева с тремя парами т.н. “усов” ограничена кратность неприводимого мультиобхода
числом 2.
• Получена формула веса минимального параметрического заполнения для бинарного дерева с тремя
парами т.н. “усов”.
• Доказано существование неприводимых мультиобходов кратности 2 у любого бинарного дерева с не
менее чем 3 парами усов.
• Кратность неприводимого мультиобхода для бинарного дерева, построенного из 4 т.н. “побегов”, не превосходит 4.
• Найдена т.н. нормальная форма мультиобходов.
• Верхняя оценка на кратность неприводимого мультиобхода для бинарного дерева на m вершинах
равна m.
О чём и пойдёт речь в настоящем докладе
Заседание 23 апреля 2024
Доклад Ферника Тома Клемана (Thomas Fernique, Франция -- ВШЭ, на русском языке).
Плотность упаковки дисков
Упаковка дисков - это набор непересекающихся открытых дисков в евклидовой плоскости. Мы рассматриваем случай, когда диски имеют конечное число различных размеров, и ищем максимальную плотность, которой можно достичь с помощью таких упаковок, то есть наибольшую часть евклидовой плоскости, которая может быть покрыта этими дисками. Цель этого доклада - представить доказательство, которое сработало для нескольких случаев размеров дисков. Оно опирается на идеи, которые уже встречались в доказательстве Томаса Хейлза и Сэмюэля Фергюсона знаменитой кеплеровской гипотезы или в предыдущих работах Аладара Хеппеша и Тома Кеннеди. Но, как мы надеемся, оно достаточно простое, чтобы его можно было почти полностью описать в 80-минутном докладе.
Презентация доклада Тома Ферника.
Заседание 16 апреля 2024
Доклад Доклад Мансура Муллагаяновича Галламова (Москва)
"Расположение звеньев ступенчатой ломаной с целыми вершинами, соединяющей концы отрезка так, что внутри полученного многоугольника нет целых точек".
Аннотация доклада в приложенном файле.
Доклад был сделан по статье.
Заседание 9 апреля 2024
Доклад Н.Ю.Ероховца (Мехмат МГУ)
"Многообразия, реализуемые как пространства орбит несвободных действий группы Z_2^k на вещественных момент-угол многообразиях".
Аннотация. Планируется продолжение доклада от 20 февраля.
Каждому простому n-мерному многограннику P c m гипергранями в торической топологии сопоставляется n-мерное вещественное момент-угол многообразие RZ_P, склеенное из 2^m копий многогранника. На этом многообразии канонически действует группа Z_2^m, причём фактор пространство совпадает с P. Обычно рассматриваются подгруппы H в Z_2^m, которые действуют свободно. В этом случае фактор пространство автоматически является многообразием. Мы рассмотрим случай произвольной подгруппы ранга m-r. Каждая такая подгруппа задаётся набором
L из m векторов ранга r в Z_2^r, отвечающих гиперграням многогранника. В центре нашего внимания будут следующие вопросы:
когда фактор пространство N(P,L) является многообразием/сферой/рациональной гомологической сферой
когда на таком многообразии действует инволюция, пространство орбит которой является сферой. Такие многообразия и инволюции называются гиперэллиптическими.
В докладе 20 февраля был описан критерий, когда N(P,L) является многообразием. Его можно вывести из результатов М.А.Михайловой (1985) и К.Ланге (2019).
В продолжении доклада планируется описать следующие результаты.
Для трёхмерного случая мы предъявим исчерпывающие ответы
на оба вопроса, включая полную классификацию гиперэллиптических инволюций, лежащих в группе Z_2^r, канонически действующей на N(P,L).б═
Примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий с геометрической структурой, моделируемой на пространствах R^3, S^3, L^3, S^2xR и L^2xR, были построены А.Д.Медных и А.Ю.Весниным на основе гамильтоновых циклов, тета-графов и K_4-графов в 1-остове прямоугольных многогранников.б═
Мы покажем, что эта конструкция по существу исчерпывает все трёхмерные многообразия N(P,L) с гиперэллиптической инволюцией в Z_2^r, только для общего случая нужно рассмотреть вместо границы многогранника более общий сферический комплекс. Будут описаны все комплексы, допускающие более одной гиперэллиптической инволюции. В частности, будет показано, что трёхмерное малое накрытие допускает три гиперэллиптические инволюции тогда и только тогда, когда оно является рациональной гомологической сферой и тогда и только тогда, когда оно индуцировано тремя гамильтоновыми циклами
на простом многограннике, такими что через каждое его ребро проходит ровно два из них.б═
Будет предъявлено обобщение конструкции А.Д. Медных-А.Ю.Веснина на n-мерный случай. Для этого мы сначала для произвольного простого n-мерного многогранника предъявим конструкцию подгрупп в Z_2^m, пространство орбит которых гомеоморфно n-мерной сфере.
Записи по ходу доклада Н.Ю.Ероховца.
Заседание 2 апреля 2024
Доклад Лилии Александровой Грюнвальд (аспирантки А.Д.Медных, Новосибирск)
О числе корневых лесов в циркулянтном графе.
Аннотация:
По теореме Кельманса-Челнокова [1], количество корневых остовных лесов в графе тесно связано с коэффициентами характеристического многочлена Лапласиана графа. В данной работе мы предлагаем аналитическое представление числа корневых остовных лесов для циркулянтных графов. В результате анализа мы выявили ряд теорем, касающихся арифметических и асимптотических свойств числа корневых остовных лесов.
Пусть теперь рассматривается H - конечный граф, который может включать кратные ребра. На основе этого определения вводится понятие циркулянтного расслоения над графом H. Это позволяет расширить применение вышеуказанных результатов на более широкий класс графов, обеспечивая тем самым более обобщенный подход к исследованию их структурных характеристик.
1. Kelmans, A.K., Chelnokov, V.M.: A certain polynomial of a graph and graphs with an extremal number of trees. J. Combin. Theory, Ser. B 16, 197–214 (1974).
Презентация доклада Лилии Александровой Грюнвальд.
Заседание 26 марта 2024
Доклад Антона Вихрова, мехмат МГУ
Геометрия геодезических в классе Громова—Хаусдорфа
Расстояние Громова—Хаусдорфа отражает степень различия метрических пространств. Расстояние Громова—Хаусдорфа было введено Громовым в 1981 и было определено как наименьшее расстояние Громова между изометрическими копиям данных пространств. Позднее было дано эквивалентное определение через соотвествия. Это расстояние является обобщенной псевдометрикой в собственном классе GH метрических пространств, заданных с точностью до изометрии. Известно, что класс M компактных метрических пространств является полным, сепарабельным, со строго внутренней метрикой.
В докладе будут обсуждаться способы построения геодезических в классе Громова—Хаусдорфа, в частности будет показано, что линейных геодезических, то есть геодезических простроенных по оптимальному соответствию недостаточно для ответа на вопрос, является ли метрика Громова—Хаусдорфа внутренней на классе Громова—Хаусдорфа. Будет дан обзор некоторых подклассов, для которых можно ответить на вопрос: возможно ли два пространства из этого класса, находящихся на конечном расстоянии, соеденить геодезической.
Презентация доклада Антона Вихрова.
Заседание 19 марта 2024
Доклад Артура Бикеева, МФТИ
Неизоморфность дистанционных графов нормированных пространств.
Аннотация: Дистанционным графом множества в метрическом пространстве называется граф, вершинами которого являются элементы этого множества, а ребром соединены те, и только те пары вершин, расстояние между которыми равно 1. Можно доказать, что дистанционные графы нормированных пространств с выпуклыми гладкими нормами изофорфны тогда и только тогда, когда эти пространства являются аффинными образами друг друга. Для этого используется определенный геометрический предикат, выразимый через свойства графа на языке первого порядка.
Заседание 12 марта 2024.
в 16:45 и 18:00.
В 16:45
Выступление Н.Г. Мощевитина
В котором он постарается популярно рассказать об объектах, понятиях и результатах, которые могут обсуждаться в выступлении Т. Даса.
Вслед за этим, в 18:00
состоится объединенное заседание с семинаром
Diophantine Approximation and Related Topics
https://perso.math.u-pem.fr/marnat.antoine/online-seminar-in-diophantine-approximation-and-related-topics.html
на котором будет сделан доклад
Tushar Das:
Thermodynamic expansions for the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets via transfer operator perturbation
Abstract: Continued fractions have provided a natural playground for several advances in number theory, geometry, topology, dynamics, analysis, and probability theory. I will report on some dimension-theoretic research -- https://arxiv.org/a/das_t_4.html -- regarding the fascinating fractals that arise from studying continued fractions and point to vistas among their conformal cousins about which much less is known. The talk will be accessible to those whose interests intersect a convex combination of dynamics, fractal geometry and Diophantine approximation.
Заседание 5 марта 2024.
Доклад Садовничего Антона Юрьевича, студента 3 курса ФПМИ
МФТИ
Разбиение центрально-симметричной фигуры
на две конгруэнтные части
Центрально-симметричную фигуру, содержащую свой центр симметрии, разбили на две конгруэнтные части. Верно ли, что центр симметрии
обязательно лежит на общей границе частей?
Текущая гипотеза состоит в том, что это верно для любой выпуклой
фигуры.
Существенные продвижения получены для фигур на плоскости. Доказана верность утверждения для многоугольника (не обязательно выпуклого) при условии, что он разбит на две части несамопересекающейся
ломаной. Результат так же легко обобщается на фигуры с «достаточно
хорошей» (например, кусочно-гладкой) границей.
Получен контрпример для невыпуклой фигуры на плоскости.
Презентация А.Ю.Садовничего.
Заседание 27 февраля 2024.
Доклад И.Х.Сабитова (мехмат МГУ)
Новые интегральные формулы для компактных поверхностей.
Из классики известно много интегральных формул, наиболее известны формула об интегральной кривизне поверхности, связывающая интеграл по поверхности от ее гауссовой кривизны с топологическим родом поверхности, векторный интеграл от произведения единичной нормали поверхности на ее гауссову кривизну, формула Бляшке для доказательства жесткости овалоида, формула Герглотца для доказательства неизгибаемости овалоида, формулы Минковского из теории выпуклых поверхностей и т.д. В докладе будут даны обобщения этих и других интегралов вместе с новыми формулами, дающими выход к новым подходам применения в теории поверхностей методов теории функций комплексного переменного.
Презентация доклада И.Х.Сабитова.
Семинар возобновляет работу 20 февраля 2024.
Доклад Н.Ю. Ероховца (мехмат МГУ)
Многообразия, определяемые векторными раскрасками трёхмерных многогранников.
Каждому простому n-мерному многограннику P c m гипергранями в торической топологии сопоставляется n-мерное вещественное момент-угол многообразие RZ_P, склеенное из 2^m копий многогранника. На этом многообразии канонически действует группа Z_2^m, причём факторпространство совпадает с P. Обычно рассматриваются подгруппы H в Z_2^m, которые действуют свободно. В этом случае факторпространство автоматически является многообразием. Мы рассмотрим случай произвольной подгруппы ранга m-r. Каждая такая подгруппа задаётся набором
L из m векторов ранга r в Z_2^r, отвечающих гиперграням многогранника. В центре нашего внимания будут следующие вопросы:
когда фактор пространство N(P,L) является многообразием/сферой/рациональной гомологической сферой
когда на таком многообразии действует инволюция, пространство орбит которой является сферой. Такие многообразия и инволюции называются гиперэллиптическими.
Для трёхмерного случая мы предъявим исчерпывающие ответы
на эти вопросы, включая полную классификацию гиперэллиптических инволюций, лежащих в группе Z_2^r, канонически действующей на N(P,L).
Для общего случая мы дадим критерий, когда N(P,L) является многообразием и когда оно ориентируемо, а также построим
серии таких многообразий, в том числе гиперэллиптических.
Задача описания гиперэллиптических многообразий мотивирована
работами А.Д.Медных и А.Ю.Веснина.
Иллюстрации к докладу Н.Ю.Ероховца. Статья Н.Ю.Ероховца.
Заседание 19 декабря 2023.
Юбилейная сессия, посвящённая 80-летию Николая Петровича Долбилина.
Доклады:
15:00-15:25: О.Р. Мусин
15:30-15:55: С.В. Кривовичев (online)
16:00-16:25: Р.Н. Карасев
16:30-16:55: А.И. Гарбер (online)
17:00-17:25: А.А. Глазырин (online)
Заседание 12 декабря 2023.
Доклад В.И.Субботина (Новочеркасск)
О существовании и полноте списков двух классов многогранников с «ромбическими вершинами»
Предполагается обсудить некоторые результаты, связанные с полнотой списков некоторых классов симметричных замкнутых выпуклых многогранников в Е^3. Акцент будет сделан на вопросах существования многогранников с правильными гранями и «симметричными ромбическими вершинами», так называемых RR-многогранников. Будут приведены примеры многогранников, в определённом смысле близких к RR-многогранникам.
Будут рассмотрены два класса таких многогранников---класс, содержащий многогранники с однотипными правильными гранями, и класс, правильные грани которого являются правильными многоугольниками различного вида. При этом, наличие в каждом многограннике и «ромбических вершин», и правильных граней обязательно.
Ромбическая вершина---это такая вершина V, звезда Star(V) граней которой (ромбическая звезда) состоит из равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной V.
Презентация доклада Субботина.
Заседание 5 декабря 2023.
Доклад М.Д.Ковалёва (МГУ)
О математических моделях теории механизмов и порождаемых ими математических вопросах
Будет рассказано о математических моделях плоских шарнирных конструкций с вращательными парами, в том числе механизмов. Из этой области П.Л.Чебышёв извлёк задачу о приближении функций по норме. В теме можно найти ряд новых достаточно общих и легко формулируемых математических и геометрических вопросов, ждущих своего решения. В их популяризации и состоит основное содержание доклада.
Презентация доклада.
Заседание 28 ноября 2023.
Доклад A. В. Тимофеенко (Красноярский математический центр)
К проблеме классификации паркетогранников и смежные вопросы
Рассматриваются только выпуклые фигуры. Паркетным называется многоугольник, составленный из конечного числа и более одного равноугольных многоугольников. Паркетогранником называется многогранник, обладающий паркетными и быть может равноугольными гранями.
Проблема классификации паркетогранников естественно появилась после нахождения всех выпуклых многогранников с правильными гранями и почти явно была сформулирована В.А.Залгаллером (1967). Скоро полвека как было замечено, что кроме двух бесконечных серий B-атипризм и C-антипризм существует только конечное число типов паркетогранников (Ю.Н.Пряхин, 1974). Надеюсь на появление в ближайшее время доказательства существования (с точностью до подобия) только 82 равнорёберных паркетогранников. Известно, что существует ровно 78 равнорёберных паркетогранников без условных вершин (А.М.Гурин, В.А.Залгаллер, А.В.Тимофеенко, 2008-2011). Их «живые» модели см. https://tupelo-schneck.org/polyhedra/
Ослабление условия равнорёберности необходимо потому, что равносторонними не могут быть представители десяти из 23 существующих типов паркетных многоугольников. На очерченной границе известного и неизвестного о паркетогранниках планирую продемонстрировать технологии построения геометрических, алгебраических и компьютерных моделей многогранников. Они представляют независимый от классификации паркетогранников интерес.
Презентация доклада А.В.Тимофеенко
Заседание 21 ноября 2023.
Доклад Михаила Скопенкова (НИУ Высшая школа экономики, Институт проблем передачи информации РАН)
"Дискретный комплексный анализ: результаты о сходимости"
Основой численных методов является дискретизация, то есть приближение континуальных объектов конечными. В докладе планируется рассказать о новых результатах, связанных с дискретизацией комплексного анализа.
Дискретизация комплексного анализа восходит к работам 1920х годов о численном решении уравнений математической физики. Различные дикретизации были предложены Р. Исааксом-Ж.Ферранд-Р. Даффином-Х. Мерка (на четырехугольных решетках), И.А. Дынниковым-С.П. Новиковым (на правильной треугольной решетке), У. Терстоном (упаковки окружностей). Позже обнаружилась связь этой области с комбинаторикой и теорией вероятностей. В последние годы она стала особенно популярной благодаря ярким приложениям в статистической физике.
Естественная и в то же время сложная задача - доказать сходимость дискретных объектов к их непрерывным аналогам, когда шаг дискретизации неограниченно уменьшается. Классическим модельным примером является сходимость решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Для дискретизации на квадратной решетке она была установлена Р. Курантом, К. Фридрихсом, Х. Леви и Л. Люстерником, на ромбической - С. Смирновым и Д. Челкаком. Докладчиком такая сходимость была доказана для дискретизации на четырехугольных решетках более общего вида (что решило задачу, поставленную С. Смирновым). Совместно с А. Бобенко были получены дальнейшие результаты в этом направлении, связанные с дискретизацией римановых поверхностей.
Специальных знаний от слушателей не требуется.
Презентация Михаила Скопенкова.
Заседание 14 ноября 2023.
Доклад Игоря Кана
«Проблема Зарембы и смежные вопросы».
О том, как метод решения классической проблемы вышел в более широкую область теории чисел, связанную с оценкой количества решений диофантовых систем из неравенств или сравнений, решениями которых должны быть числители и знаменатели дробей специального вида.
Заседание 7 ноября 2023.
Доклад Я.В. Кучериненко (МГУ, Геологический факультет)
К задаче М. М. Постникова о трёхмерных сферических многообразиях
Рассматриваются приёмы, которые помогли продвинуться в задаче М.М. Постникова об описании трёхмерных сферических многообразий с помощью многогранников разбиений Дирихле в S^3, построенных для орбит дискретных групп без неподвижных точек.
1. Аппарат описания взаимных ориентаций кристаллических зёрен в двойниках и сростках кристаллов помог разобраться и продвинуться в задаче Постникова.
2. Наряду с ячейками Дирихле в S^3, рассматриваются их центральные (гномонические проекции) на касательную гиперплоскость Е^3.
3. Перемножаемые группы клиффордовых сдвигов предлагается сориентировать так, чтобы в точке 1 были соосны сдвиги максимальных порядков. Это условие не обязательно, но оно позволяет легко обобщить ячейки Дирихле разных групп в виде сходных схем.
4. Для дробных осей предложены обозначения, сходные с обозначениями винтовых осей в 230 фёдоровских группах.
5. Принципиальная схема комбинаторного строения ячеек Дирихле связана с геометрическими особенностями групп соответствующих разбиений S^3.
6. Количество боковых граней в "призмах" (ячейках Дирихле в группах $T^{*} \times C_{m}^{*}$, $O^{*} \times C_{m}^{*}$, и $I^{*} \times C_{m}^{*}$ ) доказывается с использованием алгебры движений сферических групп.
7. Рассматриваются любопытные особенности умножения кватернионов (если они связаны с поворотами трёхмерного пространства)
Презентация Ярослава Кучериненко.
Заседание 31 октября 2023.
Доклад И.Х.Сабитова (мехмат МГУ)
Изотермическая система координат на поверхностях вращения
Аннотация
Система координат на данной поверхности называется изотермической, если в ней метрическая форма поверхности имеет вид ds^2=\Lambda^2(du^2+dv^2) .
Существование такой системы координат на каждой поверхности известно давно, но явный переход от произвольных координат к изотермическим представляет собой трудную задачу, которая требует предварительного решения довольно сложных вспомогательных систем дифференциальных уравнений. Мы показываем, как в случае поверхности вращения можно обойтись знанием ее меридиана в функции его натурального параметра с использованием некоторой квадратурной формулы и ее обратной функции.
Презентация доклада Сабитова.
Заседание 24 октября 2023.
Доклад Михаила Скопенкова
(НИУ Высшая школа экономики, Институт проблем передачи информации РАН)
"Огибающая движущегося конуса для программно-управляемой фрезеровки"
(По совместной работе с П.Бо, М.Бартоном и Г.Потманом)
Изготовление деталей криволинейной формы - скажем, рулей и турбин - сложная инженерная задача. Сегодня ее решение невозможно представить без программно-управляемой фрезеровки, когда движением резца полностью управляет компьютер. С помощью вращающегося резца даже простой формы - цилиндрической или конической - можно получить сложные поверхности. Нужно только по желаемой форме поверхности восстановить траекторию движения конуса.
В докладе будет предъявлен способ сделать это для поверхностей, которые формируются за один проход резца, без повторных прохождений. В частности, будет указан способ распознавать такие поверхности с помощью дифференциального уравнения.
Например, если угол конуса очень мал, то по сути поверхность образуется движущейся прямой. Еще в конце XVIII века Г.Монж вывел дифференциальное уравнение для этих поверхностей. Наоборот, если угол очень велик, то поверхность есть результат изгибания плоскости. Дифференциальное уравнение К.Гаусса для этих поверхностей положило начало дифференциальной геометрии. А вот для промежуточных значений угла задача потребовала совершенно новых идей - неевклидовой геометрии пространства плоскостей и анализа нелинейных дифференциальных уравнений.
Ссылка на презентацию Михаила Скопенкова.
Заседание 17 октября 2023.
Доклад Никиты Шульги
"Радикальное решение проблемы Заремба"
Будет рассказано, как с помощью фолдинг-леммы построить рациональное число,
у которого неполные частные ограничены радикалом знаменателя.
Ссылка на статью Шульги в архиве: https://arxiv.org/pdf/2310.09801.pdf
Заседание 10 октября 2023.
Продолжение доклада Арсена Галстяна
«Проблема Ферма--Штейнера в гиперпространствах»
Заседание 3 октября 2023. Доклад Арсена Галстяна
«Проблема Ферма--Штейнера в гиперпространствах»
Аннотация:
Рассматривается задача Ферма--Штейнера в метрическом пространстве $(H(X), d_H)$ всех непустых компактных подмножеств конечномерного нормированного пространства $X$ над полем $\mathbb{R}.$
Для границ из конечных компактов:
Был получен ряд свойств компактов Штейнера;
Выведен критерий того, когда компакт $K$ из $(H(X), d_H)$ является минимальным компактом Штейнера;
Предъявлен алгоритм построения минимальных компактов для взятого вектора решений;
Указана оценка на количество точек в минимальном компакте Штейнера;
В рамках исследования введено понятие так называемого множества сцепки максимального компакта Штейнера с границей, в терминах которого, в частности, сформулирован критерий единственности минимального компакта в классе решений.
Для границ из выпуклых компактов:
Дан ответ на вопрос, что произойдёт с векторами решений и каким будет максимальный компакт Штейнера в случае перехода от границы из конечных компактов к границе из их выпуклых оболочек;
В терминах обобщённых множеств сцепки доказаны три различных достаточных условия, при которых минимум суммы расстояний по Хаусдорфу при таком переходе будет строго меньше исходного. Более того, одно из таких условий даёт оценку снизу на уменьшение веса минимальной сети при переходе к границе из выпуклых оболочек;
Доказана непрерывность по Хаусдорфу деформации определённого вида над выпуклыми компактами, позволившая получить вышеперечисленные результаты для выпуклых компактных подмножеств.
Презентация Арсена Галстяна.
Заседание 26 сентября 2023.Доклад Михаила Скопенкова
(НИУ Высшая школа экономики, Институт проблем передачи информации РАН)
Линейчатые минимальные поверхности Лагерра (По совместной работе с Ф. Гросом и Г. Потманом)
Минимальная поверхность в геометрии Лагерра — это погруженная поверхность в евклидовом пространстве, являющаяся экстремалью функционала \int (H^2/K-1)dA. Здесь H и К - средняя и гауссова кривизна поверхности соответственно. Мы доказываем, что все линейчатые минимальные поверхности в геометрии Лагерра являются с точностью до изометрии - это
R(u,v) = ( Au, Bu, Cu + D cos 2u ) + v ( sin u, cos u, 0 ),
где A, B, C, D — фиксированные действительные числа. Чтобы добиться инвариантности относительно преобразований Лагерра, мы также находим все минимальные поверхности Лагерра, являющиеся огибающими однопараметрического семейства конусов. Наш подход основан на изотропной модели геометрии Лагерра. В этой модели минимальная поверхность, являющаяся огибающей однопараметрического семейства конусов, соответствует графику бигармонической функции, несущей семейство изотропных окружностей. Мы классифицируем такие функции, показывая, что вид сверху этого семейства представляет собой пучок окружностей на евклидовой плоскости.
Презентацию доклада можно посмотреть на домашней странице Михаила Скопенкова https://users.mccme.ru/mskopenkov/skopenkov-pdf/presentation-laguerre.pdf
Заседание 19 сентября 2023.Доклад Михаила Скопенкова
(НИУ Высшая школа экономики, Институт проблем передачи информации РАН)
Поверхности, на которых можно провести две окружности через каждую точку
(По совместной работе с Р. Красаускасом)
Мы находим все поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, через каждую точку которых проходят две трансверсальные дуги окружностей, лежащие на поверхности. Эта задача долгое время она оставалась открытой, несмотря на частичные продвижения, начиная ещё с работ Дарбу 19го века. Предлагаемое решение основано на сведении к красивой алгебраической задаче описания пифагоровых n-ок многочленов, которая решается с помощью нового метода разложения кватернионных многочленов на множители.
Значительная часть доклада элементарна и доступна студентам и школьникам. Многие примеры иллюстрируются мультфильмами. Будет сформулировано несколько нерешенных проблем.
Презентацию доклада можно посмотреть на домашней странице Михаила Скопенкова https://users.mccme.ru/mskopenkov/skopenkov-pdf/presentation-darboux9.pdf
Заседание 16 мая 2023.
Доклад Дмитрия Гайфулина "О втором спектре Лагранжа"
Аннотация: Пусть x - произвольное иррациональное число. Функция меры иррациональности в точке t определяется как минимум по всем натуральным n<t величины ||nx||, где || || есть расстояние до ближайшего целого числа. Легко видеть, что это кусочно постоянная монотонно убывающая функция. Причём её скачки есть в точности знаменатели подходящих цепных дробей к числу x. С тем, с какой скоростью убывает к нулю функция меры иррациональности при разных x связано множество чисел, называемое спектром Лагранжа. В докладе я рассмотрю следующую задачу: пусть мы рассмотрим минимум величины ||nx|| для целых n, которые при этом не являются знаменателями подходящих дробей к x. С этой величиной можно аналогично связать множество, которое мы назовём вторым спектром Лагранжа. В докладе будет описана дискретная часть этого множества, оказывается, она устроена проще, чем дискретная часть обычного спектра Лагранжа, описанного ещё в классических работах А.А. Маркова.
Презентация доклада Дмитрия Гайфулина.
Заседание 25 апреля 2023.
Продолжение доклада Антона Владимировича Шутова "Перекладывающиеся разбиения тора"
Презентация второй части доклада Антона Шутова.
Заседание 11 апреля 2023.
Доклад Антона Владимировича Шутова "Перекладывающиеся разбиения тора"
Аннотация.
В докладе будет рассказано о двух классах разбиений тора, хорошо ведущих себя под действием сдвигов. Будет приведено несколько конструкций таких разбиений, а также рассмотрены их приложения к изучению множеств ограниченного остатка, к разложениям в системы счисления Островского и связи с некоторыми квазипериодическими структурами.
Заседание 4 апреля 2023.
Доклад Михаила Корнева
"n-значные группы, динамика и замощения"
В 1971 году С. П. Новиков и В. М. Бухштабер ввели конструкцию n-значных групп, предсказанную теорией характеристических классов из топологии. Произведением пары элементов в ней является неупорядоченное мультимножество из n точек. В докладе мы обсудим связи n-значных групп с динамическими системами и замощениями.
Презентация доклада Михаила Корнева.
Заседание 28 марта 2023.
Продолжение доклада Антона Владимировича Шутова
Асимптотические результаты о координационных окружениях.
Презентация доклада А.В.Шутова "Асимптотические результаты о координационных окружениях".
Заседание 21 марта 2023.
Доклад Антона Владимировича Шутова
Асимптотические результаты о координационных окружениях.
В докладе будут представлены результаты об асимптотической форме координационных окружений для периодических и квазипериодических разбиений и графов, а также графов с элементами случайности. Кроме того, будут обсуждаться точные и асимптотические формулы для числа элементов в координационных окружениях.
Заседание 14 марта 2023.
Доклад Якова Шубина
«Число ребер в подграфах дистанционных графов»
Аннотация.
Графы Джонсона являются дистанционными графами, с помощью которых установили, что хроматическое число пространства растет экспоненциально с ростом размерности, а также использовали для опровержения классической гипотезы Борсука. Одна из задач, связанных, с графами Джонсона, состоит в оценке минимального числа рёбер в его индуцированных подграфах с определённым числом вершин. В работе найдена точная асимптотика данной величины для некоторых графов Джонсона, а также улучшены оценки в более общих случаях.
Презентация доклада Я. Шубина «Число ребер в подграфах дистанционных графов»
Статья Я.Шубина.
Заседание 28 февраля 2023.
Доклад Абдуламина Исмаилова
«Изопериметрическая проблема и оценка расстояний между подмножествами выпуклых тел»
Аннотация.
Среднее расстояние между двумя точками выпуклого $n$-мерного тела единичного объёма имеет порядок хотя бы $\sqrt{\frac{n}{2\pi e}}$ при достаточно больших $n$, и потому неограниченно растёт. Однако, если заменить пару точек на пару подмножеств объёма $\varepsilon > 0$, то ситуация поменяется. Для шаров единичного объёма максимальное расстояние между двумя такими подмножествами при $n \to \infty$ будет иметь асимптотику $\frac{2}{\sqrt{\pi e}}\sqrt{-\ln \varepsilon}$, для куба -- между $\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{-\ln \varepsilon}$ и $\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{-\ln \varepsilon}$. Однако, для симплексов наши оценки будут порядка $-\ln \varepsilon$(с точностью до константы), а для $\ell_p$ шаров единичного объёма при $p \in [1;2]$ -- $(-\ln \varepsilon)^{\frac{1}{p}}$. Важную роль здесь будет играть изопериметрическая проблема: оценить площадь поверхности тела при заданном объёме, и её различные версии: изопериметрическая проблема внутри куба, на поверхности шара или для гауссовой меры в $\mathbb{R}^n$. Примечательна дискретная версия изопериметрической проблемы в решётке для многомерного куба, из которой следует аналогичный результат для Манхэттенского расстояния -- $\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{-\ln \varepsilon} \sqrt{n}$.
Заседание 21 февраля 2023.
Доклад А.В.Костина (Елабуга)
«Асимптотические на псевдосферах и угол параллельности»
Аннотация.
Угол между асимптотическими линиями — и, вообще, между линиями чебышёвской сети — на поверхностях постоянной кривизны обычно аналитически истолковывается как решение дифференциального уравнения второго порядка с частными производными. Для поверхностей постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве это уравнение синус-Гордона. Углу между асимптотическими линиями на псевдосферах евклидова и псевдоевклидова пространств можно дать другое истолкование, а именно, трактовать его как удвоенный угол параллельности плоскости Лобачевского или ее идеальной области, локально несущей геометрию плоскости де Ситтера, соответственно.
Все необходимые определения напомню по ходу доклада.
Презентация доклада от 21.02. 2023 г. А.В.Костина "Асимптотические на псевдосферах и угол параллельности"
Заседание 14 февраля 2023.
Доклад И.Х.Сабитова
"Изгибания скольжения компактных поверхностей и гипотеза Эйлера"
Аннотация.
Изгибание поверхности называется изгибанием скольжения, если точки поверхности
изменяют свое положение в пространстве, оставаясь на поверхности. Такие изгибания
рассматривались еще Бианки, упомянуты они и у В.Ф. Кагана. Доказано, что локально метрика таких поверхностей является метрикой вращения. Вопрос об их глобальном
строении поставлен, например, М.Спиваком. Автором доказано (1995), что топологически
такие поверхности гомеоморфны сфере или тору. Мы рассматриваем вопрос об их изгибании и выводим точный явный вид бесконечно малых изгибаний таких поверхностей.
Но проблема в том, чтобы выяснить, являются ли эти б.м.изгибания тривиальными или
нет. Мы предлагаем алгоритм проверки этого свойства. В случае обнаружения жесткости
1-го или 2-го порядка получаем справедливость гипотезы Эйлера о неизгибаемости таких
компактных поверхностей.
Презентация доклада "Изгибания скольжения компактных поверхностей и гипотеза Эйлера" И.Х.Сабитова, сделанного 14 февраля 2023 года.