8.3 Теорема Фишера для ... 8 Доверительные интервалы ... 9 Статистические гипотезы ...

8.4 Доверительное оценивание параметров нормальных выборок

Подпункты этого параграфа:

Всюду в этом параграфе мы рассматриваем независимые выборки из нормального распределения . Мы построим доверительные интервалы для параметров распределения при различных предположениях относительно статистической модели.

Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии

Предположим, что параметр неизвестен, а дисперсия -- известное фиксированное число. Пусть -- доверительная вероятность. Применим метод, изложенный в  8.1. Выберем функцию

Из Упражнения 4.7 вытекает, что имеет нормальное распределение. Нетрудно видеть, что это стандартное нормальное распределение . Следовательно, . Выбирая и , , заключаем, что неравенство

выполнено с вероятностью . Решая его, находим доверительный интервал:

Если теперь заметить, что , то -доверительный интервал можно записать еще проще:

Замечательно то, что выборочное среднее является серединой этого интервала, а его длина стремится к нулю с увеличением объема выборки.

Доверительный интервал для дисперсии при известном среднем

Здесь среднее считается известным фиксированным числом, а дисперсия выступает в роли неизвестного параметра. Положим

Так как -- , то имеет стандартное нормальное распределение. Тем самым, функция имеет -распределение с степенями свободы, никаким образом не зависящее от неизвестного параметра  . Обозначая через квантили этого распределения и фиксируя некоторые , такие, что , приходим к неравенству

(47)

которое выполнено с вероятностью . Откуда получаем -доверительный интервал для  :

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном среднем

Теперь оба параметра и будем считать неизвестными. Нас интересует доверительный интервал для . В этом смысле параметр является мешающим. Выберем

Заметим, что функция определена таким образом, что при заданной выборке ее значения зависят лишь от параметра  . Что касается распределения случайной величины , то по теореме Фишера (см.  8.3) оно является -распределением с степенями свободы и, следовательно, не зависит от неизвестных параметров. Фиксируя , такие, что , и рассуждая как в (47), приходим к следующему -доверительному интервалу для  :

который, используя обозначение (30), можно переписать так

Доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии

Как и в предыдущем пункте, оба параметра и считаются неизвестными, при этом является мешающим параметром. По теореме Фишера

    и

независимы и имеют распределения и -распределение с степенью свободы соответственно. Следовательно, отношение

(48)

имеет распределение Стьюдента с степенью свободы. Выберем функцию равной правой части (48):

где -- выборочная дисперсия, определенная формулой (30). Функция не зависит явно от мешающего параметра . Обозначая через квантиль распределения Стьюдента с степенью свободы, получим, что неравенство

выполнено с вероятностью . Отсюда получаем -доверительный интервал для :

Так как распределение Стьюдента симметрично, то по Предложению 3.3

Поэтому доверительный интервал можно записать в виде

(49)

Таким образом, выборочное среднее является серединой этого интервала.

Пример 8.2  

Обратимся к Примеру 6.4. Предположим, что каждая из выборок и взята из нормального распределения с неизвестными параметрами -- и соответственно. (О том, на основании чего можно сделать такое допущение, мы поговорим позже в   9.5.)

Наша цель -- найти доверительные интервалы для и , теоретических значений содержания углерода и прочности на разрыв стали GS50. Напомним, что объем каждой из выборок . Зафиксируем доверительную вероятность, близкую к единице, скажем . По таблице распределения Стьюдента на стр. [*] определим приближенно, что . Вспоминая значения  и , найденные в Примере 6.5 на стр. [*], вычисляем

 
 

и, пользуясь формулой (49), получаем -доверительный интервал для процентного содержания углерода

и -доверительный интервал для значения прочности на разрыв

След.: 9 Статистические гипотезы ...
Пред.: 8.3 Теорема Фишера для ...
Вверх: 8 Доверительные интервалы ... 		  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011