ТеорВер-Онлайн: 8.1 Понятие доверительного интервала

8.1 Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

Определение 8.1

-доверительным интервалом называется интервал вида где такой, что

Число

называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью .

Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п.

Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов.

Выбираем функцию , зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения

не зависит от неизвестного параметра .
Выбираем два числа и таким образом, чтобы . Подбираем и , удовлетворяющие условиям

(41)

Таким образом,

(42)

причем и не зависят от .
Решим двойное неравенство относительно . В том случае, когда его решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через и соответственно. Естественно, они зависят от выборки: , . В силу (42)

Следовательно, -- искомый -доверительный интервал.

Замечание 8.1

Описанная процедура, разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции решается в каждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых, совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будет интервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный выше метод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправдано применение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке функция является строго монотонной и непрерывной по переменной .

Замечание 8.2

В силу неоднозначности выбора функции и чисел и , можно заключить, что -доверительный интервал неединственен.

Пример 8.1

Пусть -- независимая выборка из равномерного распределения в отрезке с неизвестным параметром :

Пусть задана доверительная вероятность

. Построим доверительный интервал для

Рассмотрим функцию . Вычислим ее функцию распределения:

Таким образом,

и, следовательно, не зависит от .
Зафиксируем так, чтобы . Тогда и удовлетворяют (41).
Решая неравенство , получаем -доверительный интервал для :

(43)