4.4 О некоррелированных зависимых ... 4 Совместное распределение общих ... 4.6 Многомерное нормальное распределение ...

4.5 Формула свертки

Многие важные случайные величины представляются в виде сумм независимых слагаемых. Нижеследующее утверждение устанавливает, как распределение суммы связано с распределениями слагаемых.

Предложение 4.5   Пусть с.в. и абсолютно непрерывны с плотностями и и независимы. Тогда

(25)

Доказательство. Пусть .

 
   
    замена  
   

Так как это равенство выполнено при всех , то из определения плотности распределения получаем формулу свертки (25).

Замечание 4.3   Если и -- абсолютно интегрируемые функции на , то определена операция свертки функций и :

Таким образом, доказанное выше Предложение гласит, что если и независимые с.в., имеющие плотность, то

Упражнение 4.5   Проверить свойства коммутативности и ассоциативности свертки:

  1. .

Замечание 4.4   Предложение может быть обобщено на случай произвольного числа независимых слагаемых: если -- независимые с.в., имеющие плотность, то

Упражнение 4.6  

Пусть -- , -- и случайные величины и независимы. Доказать, что -- .

Упражнение 4.7  

Из Упражнений 3.6 и 4.6 вывести следующую теорему: сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин имеет нормальное распределение. Указание: сначала доказать это утверждение для двух случайных величин, затем -- по индукции.


След.: 4.6 Многомерное нормальное распределение ...
Пред.: 4.4 О некоррелированных зависимых ...
Вверх: 4 Совместное распределение общих ...
  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011