4.5 Формула свертки

Многие важные случайные величины представляются в виде сумм независимых слагаемых. Нижеследующее утверждение устанавливает, как распределение суммы связано с распределениями слагаемых.

Предложение 4.5   Пусть с.в. и абсолютно непрерывны с плотностями и и независимы. Тогда

(25)

Доказательство. Пусть .

		замена

Так как это равенство выполнено при всех , то из определения плотности распределения получаем формулу свертки (25).

Замечание 4.3   Если и -- абсолютно интегрируемые функции на , то определена операция свертки функций и :

Таким образом, доказанное выше Предложение гласит, что если и независимые с.в., имеющие плотность, то

Замечание 4.4   Предложение может быть обобщено на случай произвольного числа независимых слагаемых: если -- независимые с.в., имеющие плотность, то