4.5 Формула свертки ... 4 Совместное распределение общих ... 5 Предельные законы теории ...

4.6 Многомерное нормальное распределение

Важнейшим примером совместного распределения нескольких случайных величин является многомерное нормальное распределение. Оно играет важную роль в теории вероятностей и часто возникает в различных статистических задачах.

Определение 4.4  

Говорят, что набор случайных величин имеет многомерное нормальное распределение, если найдутся вещественный вектор , невырожденная вещественная -матрица и набор независимых стандартных нормальных случайных величин такие, что

 
    (26)
 

Для многомерного нормального распределения часто употребляют синонимичное название многомерное гауссовское распределение.

Соотношения (26) записываются более компактно, если воспользоваться матричной формой: .

Предложение 4.6  

Справедливы следующие утверждения.

  1. С.в.  имеет нормальное распределения , где .
  2. .

Доказательство.

То, что имеет нормальный закон распределения, вытекает из Упражнения 4.7 и предположения о том, что независимые случайные величины. Используя линейность математического ожидания, находим, что . По Следствию 4.4 . Чтобы доказать второе утверждение, применим свойство билинейности ковариации (см. Замечание 2.4):

   
   
   

Мы воспользовались тем, что в силу предположения о независимости набора .

Рассмотрим -матрицу , где -- матрица транспонированная к . Легко видеть, что такая матрица симметрична ( ) и является невырожденной в силу невырожденности матрицы . Более того, из только что доказанного Предложения следует, что .

Упражнение 4.8  

Доказать, что матрица является строго положительной в следующем смысле: для любого ненулевого вещественного вектора

Матрицу принято называть матрицей ковариаций, а вектор -- вектором средних многомерного нормального распределения. Оказывается, что этих двух характеристик достаточно для того, чтобы полностью описать многомерное нормальное распределение. А именно, имеет место следующее утверждение.

Предложение 4.7  

Плотность многомерного нормального распределения записывается в виде следующей формулы:

где , -- вектор средних, -- матрица ковариаций, -- обратная ей матрица, , -- обычное евклидово скалярное произведение в  :

Замечание 4.5  

На чертеже приведены примеры двумерных нормальных плотностей.



, ,



Замечание 4.6  

Если , то функция, выписанная в Предложении, принимает вид обычной нормальной плотности (см. стр. [*]).

Доказательство.

Воспользуемся формулой вероятности попадания в область (Следствие 4.1) и сделаем замену переменных в интеграле:

 
   
  замена  
   

Поскольку это верно для любой области , то равны и подинтегральные функции

(27)

Так как -- независимые случайные величины, то по Следствию 4.3 их совместная плотность записывается очень просто:

Пользуясь хорошо известными фактами из курса линейной алгебры, преобразуем квадратичную форму

и заметим, что , следовательно, . Подставляя это в (27), получаем утверждение Предложения.

Из вида многомерной нормальной плотности видно, что в нем участвуют лишь параметры и . Поэтому этот закон распределения часто обозначают .

Замечание 4.7  

Утверждение Предложения 4.7 можно считать эквивалентным определением многомерного нормального распределения. Если плотность имеет указанный вид с некоторой невырожденной положительной матрицей , то существуют такие , и , что справедливо представление (26).

Сформулируем без доказательства одно важное предложение.

Предложение 4.8  

Предположим, что вектор имеет многомерное нормальное распределение. Тогда любой набор его компонент имеет (-мерное) нормальное распределение.

Упражнение 4.9  

Показать, что если какие-то из компонент нормального вектора некоррелированы, то они независимы.

Упражнение 4.10  

Чему равны дисперсии компонент двумерного случайного вектора и коэффициент корреляции между ними для каждого из двух примеров Замечания 4.5 ?

Замечание 4.8  

Иногда матрица , участвующая в соотношениях (26), имеет ранг меньший . В этом случае говорят, что имеет вырожденное многомерное нормальное распределение. У такого распределения плотность не существует.


След.: 5 Предельные законы теории ...
Пред.: 4.5 Формула свертки ...
Вверх: 4 Совместное распределение общих ...
  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011