ТеорВер-Онлайн: 4.6 Многомерное нормальное распределение

Важнейшим примером совместного распределения нескольких случайных величин является многомерное нормальное распределение. Оно играет важную роль в теории вероятностей и часто возникает в различных статистических задачах.

Определение 4.4

Говорят, что набор случайных величин имеет многомерное нормальное распределение, если найдутся вещественный вектор , невырожденная вещественная -матрица и набор независимых стандартных нормальных случайных величин такие, что


			(26)

Для многомерного нормального распределения часто употребляют синонимичное название многомерное гауссовское распределение.

Соотношения (26) записываются более компактно, если воспользоваться матричной формой:

Предложение 4.6

Справедливы следующие утверждения.

С.в. имеет нормальное распределения , где .
.

То, что

имеет нормальный закон распределения, вытекает из Упражнения 4.7 и предположения о том, что

независимые

случайные величины. Используя линейность математического ожидания, находим, что

. По Следствию 4.4

. Чтобы доказать второе утверждение, применим свойство билинейности ковариации (см. Замечание 2.4):

Рассмотрим

-матрицу

, где

-- матрица транспонированная к

. Легко видеть, что такая матрица симметрична (

) и является невырожденной в силу невырожденности матрицы

. Более того, из только что доказанного Предложения следует, что

Упражнение 4.8

Доказать, что матрица является строго положительной в следующем смысле: для любого ненулевого вещественного вектора

Матрицу

принято называть матрицей ковариаций, а вектор

-- вектором средних многомерного нормального распределения. Оказывается, что этих двух характеристик достаточно для того, чтобы полностью описать многомерное нормальное распределение. А именно, имеет место следующее утверждение.

Предложение 4.7

Плотность многомерного нормального распределения записывается в виде следующей формулы:

где

-- вектор средних,

-- матрица ковариаций,

-- обратная ей матрица,

-- обычное евклидово скалярное произведение в

Замечание 4.5

На чертеже приведены примеры двумерных нормальных плотностей.


,	,

Замечание 4.6

Если , то функция, выписанная в Предложении, принимает вид обычной нормальной плотности (см. стр. ).

Воспользуемся формулой вероятности попадания в область (Следствие 4.1) и сделаем замену переменных в интеграле:

Поскольку это верно для любой области

, то равны и подинтегральные функции

Из вида многомерной нормальной плотности видно, что в нем участвуют лишь параметры

. Поэтому этот закон распределения часто обозначают

Замечание 4.7

Утверждение Предложения 4.7 можно считать эквивалентным определением многомерного нормального распределения. Если плотность имеет указанный вид с некоторой невырожденной положительной матрицей , то существуют такие , и , что справедливо представление (26).

Сформулируем без доказательства одно важное предложение.

Предложение 4.8

Предположим, что вектор имеет многомерное нормальное распределение. Тогда любой набор его компонент имеет (-мерное) нормальное распределение.

Упражнение 4.9

Показать, что если какие-то из компонент нормального вектора некоррелированы, то они независимы.

Упражнение 4.10

Чему равны дисперсии компонент двумерного случайного вектора и коэффициент корреляции между ними для каждого из двух примеров Замечания 4.5 ?

Замечание 4.8

Иногда матрица , участвующая в соотношениях (26), имеет ранг меньший . В этом случае говорят, что имеет вырожденное многомерное нормальное распределение. У такого распределения плотность не существует.