2.5 Дисперсия случайной величины ... 2 Дискретные случайные величины ... 2.7 Индикаторы событий ...

2.6 Общие свойства дисперсии

Предложение 2.2   Имеют место следующие свойства.

  1. Дисперсия не изменится, если к случайной величине прибавить константу:

    В частности, если с.в.  постоянна, то есть, , то .
  2. для любого .

  3. где -- ковариация, определяемая по следующей формуле:

Замечание 2.4   Легко видеть, что , и что ковариация линейна по каждому из своих аргументов:
 
 

Упражнение 2.6   Доказать свойства 2) и 3) Предложения 2.2. При доказательстве свойства 3) воспользоваться Замечанием 2.4.

Упражнение 2.7   Пользуясь свойствами математического ожидания, показать, что ковариацию можно вычислять по следующей формуле:

Замечание 2.5  

Особо отметим, что, в отличие от математического ожидания, дисперсия -- это нелинейная операция, как видно из свойств 2) и 3). Ее можно условно назвать квадратичной функцией по аналогии с квадратичными формами в линейной алгебре.

 

А.Д. Манита, 2001-2011