3.4 Непрерывные случайные величины

• Примеры абсолютно непрерывных распределений

Легко видеть (см. Замечание 3.4), что случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда при всех .

Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.

Определение 3.7   Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует функция такая, что

1. ,
2. ,
3. имеет место равенство:

Функция , обладающая вышеперечисленными свойствами, называется плотностью распределения случайной величины .

Следствие 3.1   Если -- абсолютно непрерывная случайная величина, то

Наглядный смысл плотности можно проиллюстрировать следующим рисунком.

Замечание 3.5   Если плотность непрерывна в точке , то из Следствия 3.1 вытекает следующее представление:

Следствие 3.2   Если -- точка непрерывности функции , то

Примеры абсолютно непрерывных распределений

1) Равномерное распределение в отрезке

2) Показательное распределение с параметром

Показательное распределение называют также экспоненциальным.

3) Нормальное (или гауссовское) распределение , , :

Стандартное нормальное распределение -- :

Упражнение 3.4   Найти функцию распределения и построить ее график для примеров 1) и 2).

Упражнение 3.5   Проверить, что

Упражнение 3.6   Пусть -- . Показать, что -- , если .

Упражнение 3.7   Показать, что если имеет нормальное распределение, а , , то случайная величина также распределена нормально.