3.2 Случайные величины (общий ... 3 Общие случайные величины ... 3.4 Непрерывные случайные величины ...

3.3 Функция распределения случайной величины

В общем случае распределение случайных величин описывается в терминах функций распределений.

Определение 3.5   Функцией распределения случайной величины называется функция , определяемая следующим образом

Приращения функции распределения имеют очень простой смысл:

(16)

Предложение 3.1   Имеют место следующие общие свойства функций распределения:

  1. .
  2. -- неубывающая функция:

        если

  3. Пределы на бесконечности
     
     

  4. Функция непрерывна справа в каждой точке:

Мы не будем останавливаться на доказательстве этого предложения. Скажем лишь, что некоторые его пункты практически очевидны, другие несложно выводятся из определений   3.1.

Упражнение 3.2  

Показать, что у функции распределения в каждой точке существует предел слева, т.е. существует

Упражнение 3.3   Показать, что множество точек разрыва функции не более, чем счетно. (Точка разрыва: .)

Пример 3.1   Простейший случай -- константа: . В этом случае

Пример 3.2  

Дискретная случайная величина -- число выпавших очков на игральной кости:





Пример 3.3  

Более общая дискретная случайная величина



со значениями          ,     принимаемыми
с вероятностями         , , ,     соответственно.







Замечание 3.4   Каков вероятностный смысл точки разрыва функции распределения ? Ответ на этот вопрос получится, если в (16) положить , а устремить к  слева:

(Чтобы строго обосновать этот вывод, следует воспользоваться свойствами вероятностной меры из   3.1.) Таким образом, функция распределения имеет разрыв в точке тогда и только тогда, когда . Более того, величина скачка в точке разрыва совпадает с этой вероятностью.

След.: 3.4 Непрерывные случайные величины ...
Пред.: 3.2 Случайные величины (общий ...
Вверх: 3 Общие случайные величины ... 		  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011