3 Общие случайные величины ... 3 Общие случайные величины ... 3.2 Случайные величины (общий ...

3.1 Общее определение вероятностного пространства

В отличие от рассматривавшейся нами ранее дискретной ситуации, где вероятностным пространством была названа пара , под общим вероятностным пространством согласно аксиоматике Колмогорова следует понимать тройку объектов , смысл которых раскрывается следующими определениями.

Определение 3.1   Вероятностным пространством называется тройка , где



-- произвольное множество (элементарных исходов),
-- -алгебра подмножеств (события),
-- вероятностная мера на .



Определение 3.2   Система подмножеств множества называется -алгеброй, если

1) ( -- единица в -алгебре)
1а)
2) Если , то (другими словами, замкнуто относительно счетных объединений)
2а) Если , то (другими словами, замкнуто относительно счетных пересечений)
3) Если , то .

Замечание 3.1   Достаточно требовать лишь выполнения свойств 1), 2) и 3), т.к. свойства 1a) и 2a) следуют из них.

Определение 3.3   Вероятностной мерой называется отображение , обладающее следующими свойствами:

  1. , ,
  2. ,
  3. Если и , то

В рамках такого подхода элементы и только они трактуются как события.

Замечание 3.2   Дискретное вероятностное пространство вкладывается в эту схему. В качестве -алгебры событий здесь выступает множество всевозможных подмножеств дискретного множества .

Замечание 3.3   Для более, чем счетных , как правило, нельзя выбрать в качестве -алгебры множество всех подмножеств и корректно задать на ней вероятностную меру. Это означает, что не каждое подмножество есть событие.

 

А.Д. Манита, 2001-2011