3.1 Общее определение вероятностного пространства

В отличие от рассматривавшейся нами ранее дискретной ситуации, где вероятностным пространством была названа пара , под общим вероятностным пространством согласно аксиоматике Колмогорова следует понимать тройку объектов , смысл которых раскрывается следующими определениями.

Определение 3.1   Вероятностным пространством называется тройка , где

-- произвольное множество (элементарных исходов),

-- -алгебра подмножеств (события),

-- вероятностная мера на .

Определение 3.2   Система подмножеств множества называется -алгеброй, если

1) ( -- единица в -алгебре)

1а)

2) Если , то (другими словами, замкнуто относительно счетных объединений)

2а) Если , то (другими словами, замкнуто относительно счетных пересечений)

3) Если , то .

Определение 3.3   Вероятностной мерой называется отображение , обладающее следующими свойствами:

1. , ,
2. ,
3. Если и , то
   

В рамках такого подхода элементы и только они трактуются как события.

Замечание 3.2   Дискретное вероятностное пространство вкладывается в эту схему. В качестве -алгебры событий здесь выступает множество всевозможных подмножеств дискретного множества .

Замечание 3.3   Для более, чем счетных , как правило, нельзя выбрать в качестве -алгебры множество всех подмножеств и корректно задать на ней вероятностную меру. Это означает, что не каждое подмножество есть событие.