4 Совместное распределение общих ... 4 Совместное распределение общих ... 4.2 Математическое ожидание функции ...

4.1 Совместная функция распределения, плотность

Как и раньше, наиболее универсальным инструментом являются функции распределения.

Определение 4.1   Совместной функцией распределения случайных величин , назовем функцию , зависящую от вещественных переменных, такую, что

Предложение 4.1 (Без доказательства)   . Перечислим некоторые свойства функций распределения нескольких случайных величин:

  1. ;
  2. Монотонность по каждой переменной, например,

  3. Пределы на ``минус бесконечности'': если в совместной функции распределения зафиксировать все переменные, кроме одной, а оставшуюся переменную устремить к , то предел равен нулю. Например, для фиксированных

  4. Пределы на ``плюс бесконечности''. Если все переменные устремить к , в пределе получится единица:

    Если зафиксируем все переменные, кроме одной, которую устремим к , получим функцию распределения меньшего набора случайных величин. Например,

Упражнение 4.1  

Вывести из этого предложения, что

Наиболее удобный для теории и очень важный для практических приложений случай -- это случай абсолютно непрерывных распределений.

Определение 4.2   Распределение случайныx величин называется абсолютно непрерывным, если существует функция такая, что

  1. ,
  2. ,
  3. (23)

Функция , обладающая вышеперечисленными свойствами, называется совместной плотностью распределения набора случайных величин .

Следствие 4.1  

Если -- некоторая область, то

(24)

Это очень полезная формула, она носит название формулы вероятности попадания в область. Она расширяет формулу (23), которая является ее частным случаем для областей вида

Следствие 4.2  

В тех точках , в которых плотность непрерывна, верна формула

Упражнение 4.2   Показать, что


След.: 4.2 Математическое ожидание функции ...
Пред.: 4 Совместное распределение общих ...
Вверх: 4 Совместное распределение общих ...
  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011