![]() ![]() |
|
![]() | |||||||
![]() |
|||||||||
6.4 Выборочное среднее и выборочная дисперсияИногда исследователь ставит перед собой более конкретную проблему: как, основываясь на выборке, оценить интересующие его числовые характеристики неизвестного распределения, не прибегая к приближению этого распределения как такового, то есть без построения выборочных функций распределения, гистограмм и т.п.
В данном параграфе мы обсудим простые (но, как увидим в дальнейшем, весьма хорошие)
выборочные аппроксимации для математического ожидания и дисперсии. Замечательно
то, что они применимы в очень общей ситуации. Мы будем предполагать, что независимая
выборка
Определение 6.2
Величины, вычисляемые по выборке, и называются выборочным средним и выборочной дисперсией.
Следует особо подчеркнуть, что определенные выше величины зависят только от
выборки. Следующее предложение объясняет, почему естественно считать
Предложение 6.1
Математические ожидания Дисперсия ![]()
Доказательство. Используя линейность математического ожидания, получим ![]()
Так как выборка независимая, то
Покажем теперь, что
![]()
Это утверждение свидетельствует о том, что
Замечание 6.4
Для оценивания дисперсии по выборке может быть использована также функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Доказательство.
Как и при доказательстве Предложения 6.1 без ограничения общности
будем считать, что
Применяя закон больших чисел в форме Хинчина к последовательности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Замечание 6.5
Здесь мы воспроизводим замечание о вычислениях, приведенное в [12, с. 116].
Из соотношения (33) вытекает следующее представление для Математически формулы (30) и (34) дают одно и то же значение. Но, если нам необходимо вручную вычислить выборочную дисперсию, то следует это делать только по формуле (30), так как вычисления по формуле (34) потребовали бы учета намного большего числа значащих цифр, чем в случае применения формулы (30).
Имеется большое число практически важных приемов, призванных облегчить вычислительную работу с конкретными числовыми выборками. Для знакомства с ними рекомендуем читателю обратиться к книге [11]. В настоящее время существует много прикладных компьютерных программ, которые можно и нужно использовать для обработки числовых данных. С некоторыми наиболее популярными специализированными статистическими пакетами (Stadia, StatGraphics) можно познакомиться по книге [13], к которой также приводится их сравнение. Для статистической обработки небольших массивов данных вполне подойдет любой хороший универсальный математический пакет (Mathematica, Maple, Matlab).
Пример 6.5
Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию для числовых данных Примера 6.4
на странице ![]() ![]() ![]() ![]()
| ![]() | ||||||||
![]()
![]() |