ТеорВер-Онлайн: 9.5 Проверка нормальности при помощи вероятностной бумаги

Этот простой графический метод часто используют для первоначальной прикидки, правдоподобно ли предположение о том, что независимая выборка

взята из нормального распределения. Эта прикидка осуществляется в буквальном смысле ``на глазок'', поэтому здесь не идет речь о количественных показателях, таких как вероятность ошибки и т.п.

Чтобы пояснить идею этого метода, сформулируем вспомогательное утверждение. Пусть

-- функция распределения закона

Лемма 9.1

Рассмотрим отображение , действующее по формуле

где

обозначает функцию, обратную к функции распределения стандартного нормального закона

. При этом отображении график

переходит в прямую линию

, а график

переходит в прямую линию

Доказательство. Достаточно заметить, что

.
См. по этому поводу также Упражнение 3.6 на стр.

Предположим, что в нашей выборке

все числа различны. Переупорядочим выборку в порядке возрастания:

Из Определения 6.1 легко вытекает, что в этом случае эмпирическая функция распределения может быть выражена формулой

С другой стороны, теорема Гливенко утверждает, что при большом объеме выборки эмпирическая функция распределения близка к теоретической функции распределения. Принимая во внимание Лемму 9.1, заключаем, что если выборка

действительно взята из нормального распределения

, то точки

Таким образом, мы пришли к очень простому глазомерному способу проверки нормальности выборки: наносим на плоскость точки

Чтобы было удобнее наносить эти точки, прибегают к так называемой вероятностной бумаге. Вероятностная бумага получается выбором неравномерной шкалы координат вдоль оси ординат. А именно, на расстоянии

от оси абсцисс мы ставим пометку

для новой неравномерной шкалы. На вероятностную бумагу (в системе новых координат) наносят точки

Замечание 9.3

В силу того, что данные наблюдений и измерений, как правило, округлены до некоторого знака, предположение о том, что все различны, нередко нарушается. Это приводит к тому, что в вариационном ряду некоторые соседние значения могут совпадать и формула (54) для выражения через вариационный ряд несколько видоизменяется. Но, тем не менее, изложенный выше глазомерный метод определения нормальности остается пригодным.

Замечание 9.4

Мы не используем точку , тем самым теряя некоторую информацию, содержащуюся в выборке. Имея в виду приблизительность этого метода, можно надеяться, что в случае больших выборок, эта потеря не слишком существенна. Отметим, однако, что существуют приемы, позволяющие учитывать и значение . Нетрудно модифицировать этот метод для проверки гипотез о выборках из распределений, не являющих нормальными, но зависящих от неизвестных параметров сдвига-растяжения. Детали можно найти, например, в [13, § 5.1] и [6, § 4].

Пример 9.1

Вернемся к нашему числовому Примеру 6.4 и зададимся вопросом, насколько в Примере 8.2 было обоснованным предположение о нормальности выборок и . Для этого проведем их проверку на нормальность при помощи вероятностной бумаги.

Для выборки , соответствующей содержанию углерода в пробах, чертеж представлен на рисунке 3.

**Рис.** Данные о процентном содержании углерода в пробах
$\includegraphics{Figures/ver-bum-1.eps}$

Для выборки , содержащей значения прочности на разрыв, чертеж представлен на рисунке 4.

**Рис.** Данные о значениях прочности на разрыв
$\includegraphics{Figures/ver-bum-2.eps}$

Видно, что и в том, и в другом случае точки располагаются вблизи некоторой прямой линии. Таким образом, имеются основания для гипотез о нормальности выборок и .

Большое число естественно-научных примеров, при анализе которых используется вероятностная бумага, содержится во второй части книги [12].