 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
6.2 Эмпирическая функция распределения
В главе 3 шла речь о том, что все важнейшие характеристики
случайной величины могут быть выражены в терминах ее функции распределения.
В задачах математической статистики функция распределения (теоретическая) всегда
является неизвестной. Замечательно то, что основываясь на выборке, можно построить
хорошее приближение для неизвестной функции распределения 
.
Пусть, как и прежде,
-- независимая выборка
из неизвестного распределения 
.
Эмпирической функцией распределения
называется функция
, вычисляемая
по выборке
следующим образом:
есть отношение числа элементов выборки, не превосходящих 
,
к объему выборки.
Слово ``эмпирическая'' в Определении 6.1 означает, что функция вычисляется по данным опыта (эмпирическим данным), то есть, по выборке. По этой же причине для этого понятия иногда употребляют термин выборочная функция распределения.
Легко видеть, что
есть кусочно постоянная неубывающая непрерывная
справа функция. Если все 
различны, то в каждой точке
функция имеет скачок величины 
. Если какие-либо из совпадают,
то соответствующие скачки суммируются.
Как следует из Определения 6.1, значение функции 
в точке
зависит от выборки
, так что более полное обозначение
для
могло быть следующим:
.
В этом обозначении переменная является основной, а
-- фиксированные параметры. С другой стороны,
интерпретируются
как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией
распределения . Таким образом,
есть случайная величина.
Оказывается, что в пределе
выборочная функция распределения
равномерно сходится к теоретической:
Этот факт имеет совершенно общий характер и называется теоремой Гливенко. Ее доказательство выходит за рамки данного курса. Желающие могут найти его в книге [4].
Доказать следующий ослабленный вариант утверждения (28): для любых
фиксированных
и
,
и применить к последовательности независимых бернуллиевских случайных величин
2.12).
А.Д. Манита, 2001-2011