Алгебраические числа

Спецкурс, годовой (можно сдать как два полугодовых), для студентов 1-6 курсов, читает член-корреспондент РАН, профессор Юрий Валентинович Нестеренко по четвергам с 16:45 в аудитории 14-15 с 27 сентября
Обязательный спецкурс для группы защиты информации, представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел.
Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору, даже если не учитесь в группе защиты информации.

Программа курса

Диофантово уравнение $y^3-x^2 = 2$. Простые расширения. Степень расширения. Поведение степени в башнях расширений. Неразрешимость задач удвоения куба и трисекции угла при помощи циркуля и линейки.

Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности алгебраических расширений, её следствия. Алгебраическая замкнутость поля всех алгебраических чисел. Теорема о примитивном элементе. Лемма о продолжении вложений и ее следствия. Нормальные расширения. Группа Галуа нормального расширения и её свойства.

Поле разложения многочлена. Группа Галуа многочлена. Разрешимость в радикалах уравнений второй, третьей и четвјртой степени. Круговые поля. Теорема Гаусса о построении правильных многоугольников. Конечные поля. Вычисление группы Галуа для некоторых многочленов. Неразрешимость в радикалах уравнений пятой и более высоких степеней.

Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. Норма и след в алгебраических расширениях, их свойства. Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис.

Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$. Теорема о том, что множество целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел есть порядок. Теоремы Блихфельдта и Минковского. Существование в полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных. Теорема Дирихле о единицах.

Максимальность простых идеалов. Свойство обрыва возрастающих цепочек идеалов. Дробные идеалы. Теорема о разложении идеалов в произведение простых. Показатели и их свойства. Норма идеала. Мультипликативность нормы. Норма главного идеала. Конечность группы классов идеалов. Разложение целых рациональных чисел в произведение простых идеалов кольца целых поля алгебраических чисел. Конечность множества разветвленных простых чисел.

Теорема Ферма для регулярных простых чисел (теорема Куммера).

Конспект лекций