Кафедра теории чисел

Основные направления научной деятельности: теория трансцендентных чисел, теории диофантовых приближений и диофантовых уравнений, теоретико-числовые алгоритмы и их приложения к криптографии, геометрия чисел, геометрическая теория диофантовых приближений, теория динамических систем.

История кафедры

Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она изучает свойства различных классов чисел: целых, алгебраических, трансцендентных и многих их подклассов. При исследовании теоретико-числовых задач широко используются методы теории функций, алгебры, геометрии, теории вероятностей и других математических дисциплин.

Кафедра теории чисел была создана на механико-математическом факультете в 1935 году под руководством Л.Г. Шнирельмана. После него более 30 лет кафедрой руководил член-корреспондент АН СССР А.О. Гельфонд. С 1968 по 2003 год кафедрой заведовал профессор, Заслуженный деятель науки РФ А.Б. Шидловский. С 2003 года кафедру возглавляет член-корреспондент РАН Ю.В. Нестеренко.

Научные исследования

Отметим некоторые направления исследований, проводящихся на кафедре:

  • Проблемы диофантовых приближений и теории трансцендентных чисел: доказа­тельства иррациональности, трансцендентности, алгебраической независимости значений функций, оценки порядка приближения алгебраических чисел и значений аналитических функций рациональными и алгебраическими числами.
  • Проблемы аналитической теории чисел и, прежде всего, изучение законов распределения простых чисел, аддитивные задачи о представлении целых чисел в виде суммы слагаемых из некоторых последовательностей, вопросы распределения числовых последовательностей. Среди множества очень трудных нере­шённых задач в этой области выделим «проблему близнецов»: доказать бесконечность множества пар простых чисел $p,q$ с условием $ p-q = 2$, и гипотезу Римана о нулях дзетта-функции Римана.
  • Геометрические проблемы теории чисел: свойства решёток и упаковок множеств, исследования классов чисел, допускающих заданный порядок аппроксимации.
  • Знаменитая недоказанная гипотеза Литтлвуда утверждает, что для любых действительных чисел $a , b$ и любого $\varepsilon > 0$ неравенство $x\parallel\alpha x\parallel\parallel\beta x\parallel< \varepsilon$ разрешимо в натуральных числах (здесь функция $\parallel t\parallel$ обозначает расстояние от числа $t$ до ближайшего целого числа).
  • Исследование алгоритмических проблем теории чисел. Здесь мы отметим важные в связи с криптографическими применениями задачи проверки простоты и разложения больших целых чисел на множители, задачи дискретного логарифмирования, эффективные методы исследования диофантовых уравнений и другие задачи, связанные с применением ЭВМ.

Широкую известность получили развитые на кафедре методы теории трансцендентных чисел. Следует отметить решение 7-й проблемы Гильберта (А.О. Гельфонд), исследования значений так называемых E-функций (А.Б. Шидловский и его школа), а также результаты Ю.В. Нестеренко об алгебраической независимости значений модулярных форм и, в частности, чисел $\pi$ и $e^\pi$.

Адрес

199991 ГСП-1, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, кафедра теории чисел.
Телефон: (495) 939-17-67
Факс: (495) 939-20-90
Аудитория: 13-19