1. Простые расширения. Степень расширения. Поведение степени в башнях расширений.
2. Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности алгебраических расширений и ее следствия.
3. Алгебраическая замкнутость поля всех алгебраических чисел.
4. Теорема о примитивном элементе.
5. Доказательство теоремы о примитивном элементе в конечных полях. Структура конечных полей.
6. Лемма о продолжении вложений и ее следствия.
7. Нормальные расширения. Эквивалентность различных определений.
8. Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. Норма и след в алгебраических расширениях, их свойства.
9. Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис.
10. Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$.
11. Теорема о том, что множество целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел есть порядок.
12. Теоремы Блихфельда и Минковского.
13. Существование в полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных.
14. Теорема Дирихле о единицах. Гомоморфизм группы единиц в $\mathbb{R}^{s+t}$. Структура образа и ядра этого отображения.
15. Конструкция $s+t-1$ независимых единиц.
16. Максимальность простых идеалов. Свойство обрывания возрастающих цепочек идеалов.
17. Дробные идеалы. Доказательство равенства $M\cdot M^{-1} = \mathbb{Z}_K$.
18. Теорема о существовании и единственности разложения идеалов в произведение простых.
19. Показатели и их свойства.
20. Норма идеала. Мультипликативность нормы.
21. Норма главного идеала.
22. Конечность группы классов идеалов.
23. Разложение целых рациональных чисел в $\mathbb{Z}_K$. Теорема Куммера.
24. Конечность множества разветвленных простых чисел.
25. Теорема о делимости дискриминантов (условие Эйзенштейна).

Необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса

1. Вычислить $\Sigma=\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}$, где $\left(\frac{k}{p}\right)$ – символ Лежандра.

РЕШЕНИЕ: $$\Sigma^2=\sum\limits _{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits _{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}l}.$$ Заменим во внутренней сумме $l$ на $lk$. Это не изменит результата суммирования, так как $lk$ вместе с $l$ пробегает приведённую систему вычетов по модулю 7, а символ Лежандра и экспонента периодичны с периодом 7. Имеем $$\Sigma^2=\sum\limits _{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits _{l=1}^{6}\left(\frac{lk}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}lk}=\sum\limits _{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)\sum\limits _{k=1}^{6}e ^{\frac{2\pi i(l+1)}{7}k}=6\left(\frac{6}{7}\right)-\sum\limits _{l=1}^{5}\left(\frac{l}{7}\right)=7\left(\frac{6}{7}\right)=-7.$$ Здесь использовалось, что все степени от 1 до 6 числа $e ^{\frac{2\pi i}{7}}$ есть корни многочлена $x^6+\ldots+x+1$. Значит, $\Sigma=\pm i\sqrt{7}$. Чтобы определить знак, запишем явно $$\Sigma=e ^{\frac{2\pi i}{7}}+e ^{\frac{2\pi i}{7}2}+e ^{\frac{2\pi i}{7}4}-e ^{\frac{2\pi i}{7}3}-e ^{\frac{2\pi i}{7}5}-e ^{\frac{2\pi i}{7}6}=2i\left(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\right).$$ Выражение в скобках, очевидно, положительно.

ОТВЕТ: $\Sigma = i\sqrt{7}$.

2. Разложить на неприводимые над $\mathbb{Q}$ множители многочлен $x^{56}-1.$

РЕШЕНИЕ:

Мы знаем, что $x^n-1=\displaystyle\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)$, где $\Phi_d(x)$ – многочлен деления круга, как известно, неприводимый. Имеем $56=2^3\cdot 7$.Воспользуемся свойствами многочленов деления круга: $$\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)\ \textrm{при}\ 2\nmid n,\ n>2,\quad \Phi_{p^{r+1}}(x)=\Phi_p(x^{p^r}),\quad\Phi_{p_1^{r_1+1}\cdots\ p_k^{r_k+1}}(x)=\Phi_{p_1\cdots p_k}(x^{p_1^{r_1}\cdots\: p_k^{r_k}}).$$ Находим $\Phi_1(x)=x-1,\ \Phi_2(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{\Phi_1(x)}=x+1,\ \Phi_7(x)=\displaystyle\frac{x^7-1}{\Phi_1(x)}=x^6+\ldots+x+1$. Далее $\Phi_4(x)=\Phi_2(x^2)=x^2+1$, $\Phi_8(x)=\Phi_2(x^4)=x^4+1$, $\Phi_{14}(x)=\Phi_7(-x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Теперь $\Phi_{28}(x)=\Phi_{14}(x^2)=x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1$, $\Phi_{56}(x)=\Phi_{14}(x^4)=x^{24}-x^{20}+x^{16}-x^{12}+x^8-x^4+1$.

ОТВЕТ: $x^{56}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_7(x)\Phi_8(x)\Phi_{14}(x)\Phi_{28}(x)\Phi_{56}(x)$. Явные формулы см. выше.

3. Найти кольцо множителей и норму модуля $M=\{ 7, 3+\sqrt{-5}\}$ в поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. Подобен ли этот модуль $\mathbb{Z}_K$?

РЕШЕНИЕ:

$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{-5}\}$. Мы знаем, что $E_M=\{ 1, c\sqrt{-5}\}$ с некоторым $c\in\mathbb{N}$. Запишем $$c\sqrt{-5}\cdot 7=7c\cdot(3+\sqrt{-5})-3c\cdot 7\in M,\quad c\sqrt{-5}\cdot(3+\sqrt{-5})=3c\sqrt{-5}-5c=3c\cdot(3+\sqrt{-5})-2c\cdot 7\in M. $$ Значит, подходит уже $c=1$, и $E_M=\mathbb{Z}_K$.

Норма модуля может быть найдена как абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца множителей модуля к базису самого модуля. Имеем $1=\frac{1}{7}\cdot 7+0\cdot(3+\sqrt{-5}),\quad \sqrt{-5}=-\frac{3}{7}\cdot 7+1\cdot(3+\sqrt{-5})$, откуда $N(M)=\frac{1}{7}$.

Модули $\{ 1, \alpha\}$ и $\{ 1, \beta\}$ подобны тогда и только тогда, когда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны. Приведённые же квадратичные иррациональности эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. Число $\sqrt{-5}$ уже является приведённым, то есть принадлежит фундаментальной области $$H=\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ -\frac{1}{2}<\Re\tau<0,\ \Im\tau >0, |\tau|>1\right.\right\}\bigcup\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ 0\leqslant\Re\tau\leqslant\frac{1}{2},\ \Im\tau >0, |\tau|\geqslant1\right.\right\}.$$ А число $\displaystyle\frac{3+\sqrt{-5}}{7}$ эквивалентно приведённому числу $\displaystyle\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$. Отсюда видно, что модуль $M$ не подобен $\mathbb{Z}_K$.

ОТВЕТ: $\{ 1, \sqrt{-5}\},\ \frac{1}{7}$, нет.

4. Найти группу единиц в кольце $\mathbb{Z}_K$ при $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$.

РЕШЕНИЕ:

Из теории следует, что в действительном квадратичном поле алгебраических чисел есть одна фундаментальная единица. Она будет соответствовать минимальному решению уравнения Пелля $x^2-7y^2=\pm 1$. Это решение, как известно, доставляется числителем и знаменателем 3-й подходящей дроби, получаемой при разложении в цепную дробь числа $\sqrt{7}=[2;\overline{1,1,1,4}]$. Находим $x=8,\ y=3$.

ОТВЕТ: $\{\pm\left(8+3\sqrt{7}\right)^n,\ n\in\mathbb{Z}\}$.

5. Разложить главный идеал $(3)$ в произведение простых идеалов в поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$.

РЕШЕНИЕ:

$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{7}\}$. Минимальный многочлен $x^2-7$ числа $\sqrt{7}$ имеет по модулю 3 корни 1 и -1. Согласно общей теории можно записать

ОТВЕТ: $(3)=(3,\sqrt{7}-1)\cdot(3,\sqrt{7}+1)$.

Необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса