2.10 Предельные теоремы для схемы Бернулли

• Пуассоновское приближение
• Нормальное приближение
• О применимости предельных теорем в схеме Бернулли

К настоящему моменту мы накопили значительное число точных результатов, относящихся к последовательности независимых испытаний Бернулли и связанному с ней биномиальному распределению. Мы знаем, что , число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде

(11)

Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности при больших значениях . Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов и необходимости возводить числа и в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.

Пуассоновское приближение

Верна предельная теорема Пуассона: Пусть , таким образом, что , где -- заданное число. Тогда для любого фиксированного

Доказательство.

Для краткости будем считать, что , . Тогда

Замечание 2.10  

Формулировка теоремы Пуассона, которая приведена выше, ничего не говорит о скорости сходимости биномиального распределения к предельному пуассоновскому закону. Ответ на этот вопрос можно дать, воспользовавшись, например, теоремой из [14, гл. 3, § 12]. Из нее вытекает, что если , то

где -- пуассоновская с.в. с параметром , а верхняя грань взята по всем подмножествам целых неотрицательных чисел.

Нормальное приближение

Здесь мы рассмотрим случай, когда число испытаний в схеме Бернулли растет ( ), а вероятность успеха в единичном испытании  остается фиксированной. Верна так называемая интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа 1   Пусть -- число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в единичном испытании . Пусть . При

(12)

где .

Мы не приводим доказательства этого утверждения, желающие могут найти его, например, в [4] или [14]. Мы ограничимся рядом замечаний.

Замечание 2.12  

Чтобы понять смысл выражения

(13)

необходимо вспомнить, что и (см. Пример 2.7). Таким образом, это выражение имеет вид . Легко видеть, что , а . Преобразование (13) называется центрированием и нормированием случайной величины .

Замечание 2.13  

В предельном переходе `` , фиксировано'' каждая ``индивидуальная'' вероятность стремится к нулю. Асимптотика этого стремления описывается так называемой локальной предельной теоремой, которая остается за рамками нашего курса, но может быть найдена в большинстве классических учебников (например, в [4] или [14]). Что же касается интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа, то можно сказать, что она описывает предельное поведение сумм большого числа таких малых вероятностей. Действительно,

таким образом, в последней сумме содержится много (порядка ) слагаемых.

Замечание 2.14  

Скорость сходимости в (12) хорошо изучена. Имеет место так называемая оценка Берри-Эссеена: существует такое , что

Подробности можно найти в [14].

О применимости предельных теорем в схеме Бернулли

Следует различать ситуации, когда к схеме Бернулли можно применить пуассоновскую, а когда нормальную аппроксимации. Из формулировок теорем Пуассона и Муавра-Лапласа, а также Замечаний 2.10 и 2.14 можно вывести следующие общие правила:

• если велико, а не велико, следует пользоваться пуассоновским приближением;
• если велико и велико, то можно применять нормальное приближение.