Встреча с кафедрой теории чисел 2020

Дорогие друзья! Наши преподаватели приготовили небольшие рассказы о себе.
Вы можете обращаться по абсолютно любым вопросам по оставленным преподавателями адресам для связи.
Читайте также об истории кафедры

Нестеренко Юрий Валентинович

Мощевитин Николай Германович

В-основном, я занимаюсь теорией диофантовых приближений, геометрией чисел и другими близкими областями математики. Я очень люблю цепные дроби, их многомерные обобщения и приложения этих вещей, связь с динамическими системами, эргодической и комбинаторной теорией.
Какое-то представление о моей науке дают мои публикации в системе arXiv, в частности (немного устаревший), обзор

Мой любимый математик - Вольфганг Шмидт (Wolfgang Schmidt).

У меня есть ученики, некоторые из которых достаточно известны. Список можно посмотреть здесь.

Связаться со мной можно по почте: moshchevitin@gmail.com или в скайп: Nikolaus Moshchevitin

Также приглашаю вас посмотреть Небольшое видео.

Герман Олег Николаевич

Интересуюсь геометрическими аспектами теории диофантовых приближений: геометрией цепных дробей и их многомерных обобщений, диофантовыми экспонентами различной природы, принципом переноса.
Вот здесь, к примеру, можно почитать про нерешённые задачи о диофантовых экспонентах решёток.

Королёв Максим Александрович

Чем интересна аналитическая теория чисел и с чего начать ее изучение

Аналитическая теория чисел – это раздел теории чисел, в котором к решению задач, связанных с целыми числами, применяется вся мощь методов математического анализа и теории функций комплексного переменного. Она зародилась в работах Л. Эйлера и получила дальнейшее развитие в трудах А.М. Лежандра, О.Л. Коши, К.Ф. Гаусса, П.Л. Чебышёва, П.Г.Л. Дирихле, Б. Римана, Г.Ф. Вороного, И.М. Виноградова и многих других выдающихся математиков.

Современный облик этой науки сформировался во многом как поиск решений задач, поставленных еще в XVIII - XIX столетиях. В их числе – бинарная проблема Эйлера-Гольдбаха (доказать, что всякое четное число $N\geqslant 6$ есть сумма двух нечетных простых чисел: $N = p_{1} + p_{2}$), проблема «простых близнецов» (доказать, что существует бесконечно много простых чисел $p$, для которых $p+2$ также является простым), проблема Варинга (для любого целого $n\geqslant 2$ существует число $k$, зависящее лишь от $n$, что любое натуральное $N$ представимо суммою $x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + \ldots + x_{k}^{n}$, где $x_{j}$ - неотрицательные целые числа), «постулат Бертрана» (для всякого $x\geqslant 2$ промежуток $(x,2x]$ содержит хотя бы одно простое число), проблемы Гаусса и Дирихле о количестве точек с целочисленными координатами в круговой и гиперболической областях на плоскости и т. д.

Размышления над этими задачами привели к созданию мощного инструментария, который оказался востребован не только другими областями теории чисел, но и иными отраслями математики. Многие методы претерпели существенные изменения, приобрели большую гибкость и универсальность.

Так, еще в XVIII столетии Л. Эйлер разработал метод производящих функций, который состоит в сопоставлении изучаемой последовательности целых чисел $\{a_{n}\}$ ее «производящего» ряда, т. е. функции \[ F(z)\,=\,\sum\limits_{n}a_{n}z^{n}. \] Далее к этому ряду применялся аппарат математического анализа; в частности, например, коэффициент $a_{n}$ выражался через значение производной соответствующего порядка в точке $z = 0$: \[ a_{n}\,=\,\frac{1}{n!}\,F^{(n)}(0). \] С развитием методов теории функций комплексного переменного этот же коэффициент оказалось возможным выразить в виде интеграла по произвольному замкнутому контуру, обходящему начало координат: \[ a_{n}\,=\,\frac{1}{2\pi i}\,\int_{C}\frac{F(z)}{z^{n+1}}\,dz; \] последний же интеграл зачастую поддается исследованию методом перевала и позволяет при определенных условиях получить точное или приближенное выражение для $a_{n}$. В XIX-XX столетиях к степенным производящим рядам добавились иные объекты – ряды Дирихле, модулярные формы и пр. Благодаря этому расширился диапазон задач, доступных для решения и, с другой стороны, увеличилось число открытых проблем и недоказанных гипотез, которые еще ждут своих исследователей.

Другим примером служит известное уже школьникам старших классов «решето Эратосфена» – сравнительно простой способ нахождения всех простых чисел, не превосходящих заданного предела. Его усовершенствование привело к возникновению очень мощных и тонких методов, совокупность которых по традиции именуется методами решета. С их помощью, в частности, удалось доказать, что всякое достаточно большое четное число $N$ представимо в виде $N = p+P_{2}$, где $p$ – простое, а $P_{2}$ – либо простое, либо произведение двух простых чисел, а также доказать бесконечность множества простых чисел в «редкой» последовательности $a^{2}+b^{4}$, где $a$ и $b$ пробегают целые числа. Одним из наиболее ярких достижений последних лет, полученных с помощью методов решета (в сочетании с другими средствами) стало доказательство существования бесконечного множества пар соседних простых чисел, разность между которыми не превосходит 246.

Аналитическая теория чисел выявляет глубокие связи между объектами чисто арифметической природы с объектами математического анализа и теории функций комплексного переменного. Например, оказывается, что поведение функции $\pi(x)$, выражающей количество простых чисел на отрезке $[2,x]$, тесно связано с комплексными нулями т.н. дзета-функции Римана $\zeta(s)$, которая определяется при $\Re (s)>1$ равенством \[ \zeta(s)\,=\,\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^{s}}. \] 1-Периодичность тригонометрических функций $\sin{2\pi x}$, $\cos{2\pi x}$ позволила сформулировать многие задачи теории чисел на языке тригонометрических сумм, т.е. выражений вида \[ \sum\limits_{n}\bigl(\cos{(2\pi f(n))}\,+\,i\sin{(2\pi f(n))}\bigr)\,=\,\sum\limits_{n}e^{2\pi if(n)}. \] Для изучения последних в настоящее время разработаны очень сильные и глубокие методы, основное место среди которых занимает метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Обилие результатов, большое число методов и неизмеримое число новых работ по аналитической теории чисел могут, однако, создать неверное впечатление у новичка: «бэкграунд» для изучения столь велик и необъятен, что для его освоения не хватит и всей жизни. К счастью, это не так и дорога в науку открыта всем. Безусловно, есть определенный минимум, без изучения которого невозможна никакая исследовательская работа. В творческом овладении им могут помочь как проверенные временем учебники (в их числе, безусловно, находится книга А.А. Карацубы «Основы аналитической теории чисел»), так и читаемые на кафедре специальные курсы общего характера. После этого можно обратиться к детальному, вдумчивому чтению одной-двух современных работ, которое должно сопровождаться детальным разбором всех выкладок, проведением всех опущенных автором рассуждений (разбором всех случаев), по возможности – разбором вспомогательных утверждений. Такое чтение вскрывает внутреннюю логику доказательства и зачастую позволяет оптимизировать рассуждения автора, придумать более короткое доказательство и даже усилить исходный результат. Но это и есть первые шаги в науке!

Уланский Евгений Александрович

Область моих научных интересов это

  • Кратные дзета-значения (мультидзета-функция) $\zeta(s_1,\ldots ,s_l)=\sum\limits _{n_1>n_2>\ldots >n_l\geqslant 1}\displaystyle\frac{1}{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_l^{s_l}}$
  • Обобщённые полилогарифмы $\textrm{Li}_{s_1,\ldots ,s_l}(z_1,\ldots ,z_l)=\sum\limits _{n_1>n_2>\ldots >n_l\geqslant 1}\displaystyle\frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}\cdots z_l^{n_l}}{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_l^{s_l}}$
  • Обобщённые гипергеометрические интегралы $\displaystyle\int\limits_{[0,1]^n}\left(\prod\limits_{i=1}^n\frac{x_i^{a_i-1}(1-x_i)^{b_i-a_i-1}}{(1-x_1\cdots x_i)^{c_i}}\right)\text{d}x_1\cdots\text{d}x_n$

Для ознакомления с кратными дзета-значениями и обобщёнными полилогарифмами рекомендую обзор В.В. Зудилина «Алгебраические соотношения для кратных дзета-значений» и литературу, указанную в этом обзоре. Там же можно прочитать и об открытых вопросах данного направления теории чисел, некоторыми из которых я занимаюсь и предлагаю заниматься вам. Например, доказана иррациональность числа $\zeta(3)$ и даже бесконечность множества иррациональных чисел, содержащихся среди $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11), \ldots$ Но ничего до сих пор не известно об (ир)рациональности числа $\zeta(5)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}$.
e-mail: ulanskiy[собака]mail.ru
ВК
ИСТИНА
Индивидуальный номер ученого: 00052728
Mathematical Genealogy
РИНЦ
ORCID
ResearcherID
Scopus
Scholar