9.1 Простые и сложные ... 9 Статистические гипотезы ... 9.3 Критерий согласия для ...

9.2 Критерий согласия Пирсона

Наше изложение близко к [7, § 30.1] и [13, § 10.4]. Мы рассматриваем независимую выборку , обозначая неизвестную функцию распределения . Нас интересует вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений с простой гипотезой

где -- некоторая конкретная фиксированная функция распределения.

Вначале разобъем множество на конечное число непересекающихся подмножеств . Пусть -- вероятность, соответствующая функции распределения , обозначим Очевидно, что

Теперь сделаем группировку данных аналогично процедуре, описанной в   6.3, а именно, определим

(50)

Очевидно, что в силу случайных колебаний эмпирические частоты будут отличаться от теоретических вероятностей . Чтобы контролировать это различие, следует подобрать хорошую меру расхождения между экспериментальными данными и гипотетическим теоретическим распределением. По аналогии с идеей метода наименьших квадратов в качестве такой меры расхождения можно взять, например, , где положительные числа можно выбирать более или менее произвольно. Как показал К. Пирсон, если выбрать , то полученная величина будет обладать рядом замечательных свойств. Таким образом, положим

(51)

Подчеркнем, что величина вычисляется по выборке. Функцию  принято называть статистикой Пирсона. Обсудим ее свойства.

Поведение , когда гипотеза верна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: .

Теорема К. Пирсона. Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы, то есть,

Практический смысл этой теоремы в том, что при большом объеме выборки распределение  можно считать распределением хи-квадрат с степенью свободы.

Поведение , когда гипотеза неверна.

Предположим теперь, что и разбиение таково, что

где вероятности вычислены по функции распределения . Тогда можно показать (см., например, [13, § 10.4]), что

    если (52)

Критерий проверки.

То обстоятельство, что поведение существенно различно в зависимости от того верна или нет гипотеза , дает возможность построить критерий для ее проверки. Зададимся некоторым уровнем значимости (допустимой вероятностью ошибки) и возьмем квантиль , определенную формулой (45):

Определим критическое множество :

Таким образом, наши действия по принятию (или отвержению) гипотезы  состоят в следующем. Подстановкой имеющихся данных в формулу (51) вычисляется значение функции , которое затем сравнивается с  :

  • если , то гипотеза  отвергается (при этом говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение от гипотезы ),
  • если , то гипотеза  принимается (говорят, что выборка совместима с гипотезой ).
Действительно, такое решающее правило соответствует вышеизложенным фактам о поведении функции . Приведем аргументы, основанные на здравом смысле, свидетельствующие в пользу этого решающего правила. Если значения функции  оказались ``слишком большими'', то, принимая во внимание (52), разумно считать, что гипотеза  не имеет места. Если же значения  ``не слишком большие'', то, скорее всего, гипотеза  верна, поскольку это согласуется с теоремой Пирсона.

При таком решающем правиле мы может допустить ошибку, отвергнув верную гипотезу . Из теоремы Пирсона вытекает, что при больших величина вероятности этой ошибки близка к  .

Границы применимости критерия на практике.

Утверждения теоремы Пирсона и (52) относятся к пределам при . На практике, конечно, мы имеем дело лишь с выборками ограниченного объема. Поэтому, применяя вышеописанный критерий, необходимо проявлять осторожность. Согласно рекомендациям, изложенным в [7], применение критерия дает хорошие результаты, когда все ожидаемые частоты . Если же какие-то из этих чисел малы, рекомендуется, укрупняя некоторые группы, перегруппировать данные таким образом, чтобы ожидаемые частоты всех групп были не меньше десяти. Если число достаточно велико, то, как указывается в книге [13], порог для ожидаемых частот может быть понижен до  или даже до , если имеет порядок нескольких десятков.

След.: 9.3 Критерий согласия для ...
Пред.: 9.1 Простые и сложные ...
Вверх: 9 Статистические гипотезы ... 		  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011