Спецкурс, 1/2 года, для студентов 2-6 курсов, аспирантов,
читает доцент Уланский Евгений Александрович.

Допустим есть простое число $p$ и целые числа $x, a,\ 0<a<p$. Тогда легко найти целое число $b$ из того же интервала с условием $a^x\equiv b$ mod $p$. Однако при известных $a$ и $b$ найти $x$ уже намного сложнее. Если же ставить подобную задачу, которая и называется задачей дискретного логарифмирования, не в группе $\mathbb{Z}_p^*$, а в группе точек эллиптической кривой, то её решение настолько трудно, что на основе этой задачи строится защита информации в банковской и многих других сферах. В курсе мы ознакомимся с самими эллиптическими кривыми и узнаем о подходах к решению задачи дискретного логарифмирования на них.

- Задача дискретного логарифмирования на примере мультипликативной группы конечного поля. Метод индексного исчисления.

- Эллиптические кривые. Закон сложения точек эллиптической кривой.

- Эллиптические кривые над конечными полями.

- Структура группы точек эллиптической кривой, определённой над конечным полем.

- Задача дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой, определённой над конечным полем.

- Методы Полига-Хелмана и Полларда вычисления дискретного логарифма.

- Эллиптические кривые над $p$-адическими полями.

- Эллиптический логарифм.

- Решение задачи дискретного логарифмирования для эллиптических кривых порядка $p$ над полем $\mathbb{F}_p$.

- Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой.

- Дивизоры эллиптической кривой. Многочлены деления.

- Спаривания на эллиптических кривых.

- Алгоритм вычисления спаривания Вейля.

- Определение порядка и структуры группы точек эллиптической кривой, определённой над конечным полем.

- Алгоритм Менезеса-Окамото-Ванстоуна нахождения дискретного логарифма на эллиптических кривых.

- Суперсингулярные кривые. Дискретное логарифмирование на таких кривых.

- Связь структуры группы эллиптической кривой, определенной над конечным полем с кольцом эндоморфизмов этой кривой.

- Быстрое вычисление структуры группы и дискретного логарифма на некоторых эллиптических кривых специального вида.

Kraitchik M. Theorie des Nombres. 1922. Vol. 1. Gauthier-Villars.

Kraitchik M. Recherches sur la theorie des nombres. 1924. Gauthier-Villars.

Enge A. Elliptic curves and their applications to cryptography: an introduction. Kluwer Academic Publishers. 1999.

Pohlig S. and Hellman M. An improved algorithm for computing logarithms over $GF(p)$ and its cryptographic significance. IEEE Transactions on Information Theory. 1978. No 24. P. 106-110.

Pollard J. Monte Carlo methods for index computation mod $p$. Mathematics of Computation. 1978. No 32. P. 918-924.

Milne J. S. Elliptic curves. 2006.

Silverman J. H. The Arithmetic Of Elliptic Curves. Springer-Verlag, GTM 106, 1986. Expanded 2nd Edition, 2009.

Smart N. P. The discrete logarithm problem on elliptic curves of trace one. Hewlett-Packard Company. 1997.

Semaev I. Evaluation of discrete logarithms in a group of p-torsion points of an elliptic curve in characteristic $p$. Mathematics of Computation. 1998. No 67. P. 353-356.

Enge A. Bilinear pairings on elliptic curves. 2012.

Miller V. S. The Weil pairing and its efficient calculation. Journal of Cryptology. 2004. Vol. 17. 235–261.

Schoof R. J. Elliptic curves over finite fields and the computation of square roots mod $p$. Math. Comp. 1985. 44. 483–494.

Menezes A., Okamoto T., Vanstone S. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field. IEEE Transactions on Information Theory. 1993. No 39. P. 1639-1646.

Frey G., Ruck H. A remark concerning m-divisibility and the discrete logarithm in the divisor class group of curves. Mathematics of Computation. 1994. No 62. P. 865-874.

Lenstra H. W. Jr. Complex multiplication structure of elliptic curves. Journal of Number Theory. 1996. 56. 227-241.

Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987, 416 с.