Спецкурс, годовой, для студентов 1-4 курсов, по средам в 15:00 во 2-м ГУМе с 17 сентября,
читает член-корреспондент РАН, профессор Нестеренко Юрий Валентинович .

Курс будет посвящён основам арифметической теории эллиптических кривых – классического и активно развивающегося в настоящее время раздела теории чисел и алгебры. В простейшем виде (форма Вейерштраса) уравнения этих кривых выглядят так $y^2=x^3+ax+b$. Нас будут интересовать решения этих уравнений в целых и рациональных числах в предположении, что коэффициенты $a, b$ – также целые или рациональные. Теорема Нагеля-Лютц, она будет доказана в курсе, позволяет находить все целые решения таких уравнений. На множестве точек эллиптической кривой можно определить операцию сложения точек, после чего оно превращается в группу. Рациональные точки образуют подгруппу, и знаменитая теорема Морделла утверждает, что эта подгруппа конечно порождена, т.е. существует конечное множество рациональных решений, из которого с помощью операции сложения можно получить любое другое решение в рациональных числах. Будут рассмотрены подобные кривые над конечными полями и доказаны теоремы Гаусса и Хассе о числе точек на этих кривых. В последней части курса мы докажем теорему Туэ о приближении алгебраических чисел рациональными и выведем из неё теорему о конечности при некоторых условиях множества решений в целых числах уравнения $f(x,y)=m$, где $f$ - многочлен с целыми коэффициентами степени большей 2 и $m$ – целое число. Начнём мы с уравнения Ферма степени 3 и вопроса о натуральных числах для которых разность куба и квадрата равна 2.

От слушателей никаких специальных знаний не требуется.

- Уравнения $x^3-y^2=2$ и $x^3+y^3=1$.

- Рациональные точки на кривых второго порядка. Геометрия кубических кривых. Вейерштрассова нормальная форма. Точные формулы для группового закона.

- Точки второго и третьего порядков. Действительные и комплексные точки на кубических кривых. Точки конечного порядка имеют целые координаты. Теорема Нагеля-Лютц.

- Группа рациональных точек на эллиптической кривой. Высоты и спуск. Высота суммы двух точек. Высота удвоенной точки. Теорема Морделла.

- Кубические кривые над конечными полями. Теорема Гаусса о числе решений уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ над конечными полями $\mathbb{F}_p$ для простых $p$. Теорема Хассе об оценках числа точек эллиптической кривой над конечным полем.

- Целые точки на кубических кривых. О числе целых решений уравнения $x^3+y^3=m$. Теорема Туэ о рациональных приближениях алгебраических чисел. Конечность множества решений диофантова уравнения Туэ.