Спецкурс, годовой, для студентов 1-4 курсов,
читает член-корреспондент РАН, профессор Нестеренко Юрий Валентинович .

Курс будет посвящён основам арифметической теории эллиптических кривых – классического и активно развивающегося в настоящее время раздела теории чисел и алгебры. В простейшем виде (форма Вейерштраса) уравнения этих кривых выглядят так $y^2=x^3+ax+b$. Нас будут интересовать решения этих уравнений в целых и рациональных числах в предположении, что коэффициенты $a, b$ рациональные числа. На множестве точек эллиптической кривой можно определить операцию сложения, после чего оно превращается в группу. Точки конечного порядка образуют конечную подгруппу. Теорема Нагеля-Лютц в случае целых $a,b$ позволяет находить все точки конечного порядка, их координаты оказываются целыми числами. Ещё одна классическая теорема Морделла утверждает, что подгруппа точек бесконечного порядка конечно порождена, т.е. существует конечное множество рациональных решений, из которого с помощью операции сложения можно получить любое другое решение в рациональных числах. Будут рассмотрены подобные кривые над конечными полями и доказаны теоремы Гаусса и Хассе о числе точек на этих кривых. В последней части курса мы докажем теорему Туэ о приближении алгебраических чисел рациональными и выведем из неё теорему о конечности при некоторых условиях множества решений в целых числах уравнения $f(x,y)=m$, где $f$ - многочлен с целыми коэффициентами степени большей 2 и $m$ – целое число. Ещё одно следствие этой теоремы – конечность множества точек с целыми координатами на эллиптических кривых. Начнём мы с уравнения Ферма степени 3 и вопроса о натуральных числах для которых разность куба и квадрата равна 2.

От слушателей никаких специальных знаний не требуется.

- Уравнения $x^3-y^2=2$ и $x^3+y^3=1$.

- Рациональные точки на кривых второго порядка. Геометрия кубических кривых. Вейерштрассова нормальная форма. Точные формулы для группового закона.

- Точки второго и третьего порядков. Действительные и комплексные точки на кубических кривых. Точки конечного порядка имеют целые координаты. Теорема Нагеля-Лютц.

- Группа рациональных точек на эллиптической кривой. Высоты и спуск. Высота суммы двух точек. Высота удвоенной точки. Теорема Морделла.

- Кубические кривые над конечными полями. Теорема Гаусса о числе решений уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ над конечными полями $\mathbb{F}_p$ для простых $p$. Теорема Хассе об оценках числа точек эллиптической кривой над конечным полем.

- Целые точки на кубических кривых. О числе целых решений уравнения $x^3+y^3=m$. Теорема Туэ о рациональных приближениях алгебраических чисел. Конечность множества решений диофантова уравнения Туэ.