Введение в теорию дзета-функции Римана

Спецкурс, годовой, для студентов 1-3 курсов,
читает доцент Преображенская Татьяна Анатольевна.

Более двух столетий назад в работах Л. Эйлера возник метод производящих функций, отправной точкой которого является сопоставление исследуемым объектам функций, причем отношения между объектами отражаются в отношениях между функциями. К функциям же можно применить всю мощь метода анализа бесконечно малых. Многие свойства целых чисел отражаются в аналитических свойствах дзета-функции Римана. Например, представление дзета-функции в виде эйлерова произведения по простым числам является отражением однозначности разложения целых чисел на простые сомножители и т. д.

Спецкурс посвящен изложению основных фактов теории дзета-функции, являющихся классическими результатами: представление в виде произведения Вейерштрасса, функциональное уравнение, граница нетривиальных нулей дзета-функции, их связь с распределением простых чисел, поведение нулей дзета-функции Римана на критической прямой.

Программа спецкурса

1. Определение дзета-функции Римана и ее простейшие свойства. Обобщения функции $\zeta (s)$. Аналитическое продолжение в область $Re\ s>0$.

2. Ряды Дирихле, связанные с дзета-функцией.

3. Целые функции конечного порядка. Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса.

4. Гамма-функция Эйлера: функциональное уравнение, формула Стирлинга.

5. Тета-ряд и его свойства. Выражение дзета-функции через тета-ряд. Функциональное уравнение дзета-функции. Аналитическое продолжение $\zeta (s)$ на всю комплексную плоскость.

6. Нетривиальные нули дзета-функции. Следствия из функционального уравнения для дзета-функции. Разложение логарифмической производной в ряд по нулям.

7. Теорема Ш. Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции.

8. Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди $Z(t)$. Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение $Z(t)$.

9. Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями $\zeta (s)$, лежащими на критической прямой.

10. Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции $\psi (x)$ через нули $\zeta (s)$. Формула Сельберга.

11. Асимптотические законы распределения простых чисел.

12. Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для $\zeta (s)$.

13. Оценки дзетовой суммы.

14. Современная граница нулей $\zeta (s)$.

Список литературы

1. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана.- М.: Физматлит, 1994.

2. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел.- М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.

4. H. Iwaniec. Lectures on the Riemann Zeta Function. Rutgers, Fall 2012.