Спецкурс "Введение в теорию чисел" (для студентов 3 курса)

Читал профессор Мощевитин Николай Германович.

1. Квадратичный закон взаимности.

2. Суммы с простыми числами, асимптотика ряда $\sum \frac{1}{p}$.

3. Основы теории тригонометрических сумм. Простейшие суммы. Равномерности и регулярности.

4. Характеры Дирихле. Простейшие суммы. Теорема Шаркози.

5. Задача о квадратичном невычете. Оценки Виноградова. Применение неравенства Берджесса.

6. Формулировки теорем А. Вейля (полные полиномиальные суммы, суммы характеров, суммы Клоостермана). Следствия теорем Вейля. Теорема об сумме по множеству $А+В$. Вывод неравенства Берджесса.

7. Дзета-функции. Рациональность дзета-функции для рациональной тригонометрической суммы, суммы значений характера от полинома и суммы Клоостермана. Теорема о модуле величин $\omega_j$ (только формулировка).

8. Короткие суммы Клоостермана. Теорема Карацубы.

9. Равномерное распределение. Критерии Вейля. Оценки отклонения. Примеры.

10. Равномерное распределение дробных долей многочлена.

11. Последовательность $\alpha n^2$. Теоремы Хельбронна и Захареску.

1. Представление чисел суммами двух и четырех квадратов. Различные доказательства.

2. Методы геометрии чисел. Теорема Минковского о выпуклом теле и ее применение в задаче о сумме двух и четырех квадратов.

3. Арифметика квадратичных расширений

4. Основы теории алгебраических чисел.

5. Плохо приближаемые системы линейных форм

6. Теорема Дирихле о единицах.

7. Теорема Пека.

8. $р$-адическая гипотеза Литтлвуда.

9. Понятие о метрической теории чисел. Теорема Хинчина. Сигма-последовательности. Теорема Касселса.