Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
|
diopheq [2014/09/07 13:55] Уланский Евгений Алесандрович создано |
diopheq [2014/09/11 01:25] Уланский Евгений Алесандрович [Диофантовы уравнения] |
||
|---|---|---|---|
| Строка 4: | Строка 4: | ||
| читает член-корреспондент РАН, профессор [[ Нестеренко_юрий_валентинович | Нестеренко Юрий Валентинович ]]. | читает член-корреспондент РАН, профессор [[ Нестеренко_юрий_валентинович | Нестеренко Юрий Валентинович ]]. | ||
| - | Курс будет посвящён основам арифметической теории эллиптических кривых – классического и активно развивающегося в настоящее время раздела теории чисел и алгебры. В простейшем виде (форма Вейерштраса) уравнения этих кривых выглядят так $y^2=x^3+ax+b$. Нас будут интересовать решения этих уравнений в целых и рациональных числах в предположении, что коэффициенты $a, b$ – также целые или рациональные. Теорема Нагеля-Лютц, она будет доказана в курсе, позволяет находить все целые решения таких уравнений. На множестве точек эллиптической кривой можно определить операцию сложения точек, после чего оно превращается в группу. Рациональные точки образуют подгруппу, и знаменитая теорема Морделла утверждает, что эта подгруппа конечно порождена, т.е. существует конечное множество рациональных решений, из которого с помощью операции сложения можно получить любое другое решение в рациональных числах. Будут рассмотрены подобные кривые над конечными полями и доказаны теоремы Гаусса и Хассе о числе точек на этих кривых. В последней части курса мы докажем теорему Туэ о приближении алгебраических чисел рациональными и выведем из неё теорему о конечности при некоторых условиях множества решений в целых числах уравнения $f(x,y)=m$, где $f$ - многочлен с целыми коэффициентами степени большей 2 и $m$ – целое число. Начнём мы с уравнения Ферма степени 3 и вопроса о натуральных числах для которых разность куба и квадрата равна 2. | + | Курс будет посвящён основам арифметической теории эллиптических кривых – классического и активно развивающегося в настоящее время раздела теории чисел и алгебры. В простейшем виде (форма Вейерштраса) уравнения этих кривых выглядят так $y^2=x^3+ax+b$. Нас будут интересовать решения этих уравнений в целых и рациональных числах в предположении, что коэффициенты $a, b$ рациональные числа. На множестве точек эллиптической кривой можно определить операцию сложения, после чего оно превращается в группу. Точки конечного порядка образуют конечную подгруппу. Теорема Нагеля-Лютц в случае целых $a,b$ позволяет находить все точки конечного порядка, их координаты оказываются целыми числами. Ещё одна классическая теорема Морделла утверждает, что подгруппа точек бесконечного порядка конечно порождена, т.е. существует конечное множество рациональных решений, из которого с помощью операции сложения можно получить любое другое решение в рациональных числах. Будут рассмотрены подобные кривые над конечными полями и доказаны теоремы Гаусса и Хассе о числе точек на этих кривых. В последней части курса мы докажем теорему Туэ о приближении алгебраических чисел рациональными и выведем из неё теорему о конечности при некоторых условиях множества решений в целых числах уравнения $f(x,y)=m$, где $f$ - многочлен с целыми коэффициентами степени большей 2 и $m$ – целое число. Ещё одно следствие этой теоремы – конечность множества точек с целыми координатами на эллиптических кривых. Начнём мы с уравнения Ферма степени 3 и вопроса о натуральных числах для которых разность куба и квадрата равна 2. |
| От слушателей никаких специальных знаний не требуется. | От слушателей никаких специальных знаний не требуется. | ||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
| - Группа рациональных точек на эллиптической кривой. Высоты и спуск. Высота суммы двух точек. Высота удвоенной точки. Теорема Морделла. | - Группа рациональных точек на эллиптической кривой. Высоты и спуск. Высота суммы двух точек. Высота удвоенной точки. Теорема Морделла. | ||
| - | - Кубические кривые над конечными полями. Теорема Гаусса о числе решений уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ над конечными полями $\mathbb{F}_p для простых $p$. Теорема Хассе об оценках числа точек эллиптической кривой над конечным полем. | + | - Кубические кривые над конечными полями. Теорема Гаусса о числе решений уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ над конечными полями $\mathbb{F}_p$ для простых $p$. Теорема Хассе об оценках числа точек эллиптической кривой над конечным полем. |
| - Целые точки на кубических кривых. О числе целых решений уравнения $x^3+y^3=m$. Теорема Туэ о рациональных приближениях алгебраических чисел. Конечность множества решений диофантова уравнения Туэ. | - Целые точки на кубических кривых. О числе целых решений уравнения $x^3+y^3=m$. Теорема Туэ о рациональных приближениях алгебраических чисел. Конечность множества решений диофантова уравнения Туэ. | ||