Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

algnum_old [2018/09/23 17:03] (текущий)
Уланский Евгений Алесандрович создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Вопросы к зачёту===== ​
  
 +1. Простые расширения. Степень расширения. Поведение степени в башнях расширений.
 +\\
 +2. Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности алгебраических расширений и ее следствия.
 +\\
 +3. Алгебраическая замкнутость поля всех алгебраических чисел.
 +\\
 +4. Теорема о примитивном элементе.
 +\\
 +5.     ​Доказательство теоремы о примитивном элементе в конечных полях. Структура конечных полей.
 +\\
 +6. Лемма о продолжении вложений и ее следствия.
 +\\
 +7. Нормальные расширения. Эквивалентность различных определений.
 +\\
 +8. Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. Норма и след в алгебраических расширениях,​ их свойства.
 +\\
 +9. Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис.
 +\\
 +10. Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$.
 +\\
 +11. Теорема о том, что множество целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел есть порядок.
 +\\
 +12.   ​Теоремы Блихфельда и Минковского.
 +\\
 +13. Существование в полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных.
 +\\
 +14. Теорема Дирихле о единицах. Гомоморфизм группы единиц в $\mathbb{R}^{s+t}$. Структура образа и ядра этого отображения.
 +\\
 +15. Конструкция $s+t-1$ независимых единиц.
 +\\
 +16. Максимальность простых идеалов. Свойство обрывания возрастающих цепочек идеалов.
 +\\
 +17. Дробные идеалы. Доказательство равенства $M\cdot M^{-1} = \mathbb{Z}_K$.
 +\\
 +18. Теорема о существовании и единственности разложения идеалов в произведение простых.
 +\\
 +19. Показатели и их свойства.
 +\\
 +20. Норма идеала. Мультипликативность нормы.
 +\\
 +21. Норма главного идеала.
 +\\
 +22. Конечность группы классов идеалов.
 +\\
 +23. Разложение целых рациональных чисел в $\mathbb{Z}_K$. Теорема Куммера.
 +\\
 +24. Конечность множества разветвленных простых чисел.
 +\\
 +25. Теорема о делимости дискриминантов (условие Эйзенштейна).
 +
 +**Для получения зачёта необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса**
 +
 +=====Задачи к зачёту=====
 +
 +1. Вычислить $\Sigma=\displaystyle\sum\limits
 +_{k=0}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}$, где $\left(\frac{k}{p}\right)$ ​ -- символ Лежандра.
 +
 +РЕШЕНИЕ:​
 +$$\Sigma^2=\sum\limits
 +_{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits
 +_{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}l}.$$
 +Заменим во внутренней сумме $l$ на $lk$. Это не изменит результата суммирования,​ так как $lk$ вместе с $l$ пробегает приведённую систему вычетов по модулю 7, а символ Лежандра и экспонента периодичны с периодом 7. Имеем
 +$$\Sigma^2=\sum\limits
 +_{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits
 +_{l=1}^{6}\left(\frac{lk}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}lk}=\sum\limits
 +_{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)\sum\limits
 +_{k=1}^{6}e ^{\frac{2\pi i(l+1)}{7}k}=6\left(\frac{6}{7}\right)-\sum\limits
 +_{l=1}^{5}\left(\frac{l}{7}\right)=7\left(\frac{6}{7}\right)=-7.$$
 +Здесь использовалось,​ что все степени от 1 до 6 числа $e ^{\frac{2\pi i}{7}}$ есть корни многочлена $x^6+\ldots+x+1$. Значит,​ $\Sigma=\pm i\sqrt{7}$. Чтобы определить знак, запишем явно
 +$$\Sigma=e ^{\frac{2\pi i}{7}}+e ^{\frac{2\pi i}{7}2}+e ^{\frac{2\pi i}{7}4}-e ^{\frac{2\pi i}{7}3}-e ^{\frac{2\pi i}{7}5}-e ^{\frac{2\pi i}{7}6}=2i\left(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\right).$$
 +Выражение в скобках,​ очевидно,​ положительно.
 +
 +ОТВЕТ: $\Sigma = i\sqrt{7}$.
 +
 +2. Разложить на неприводимые над $\mathbb{Q}$ множители многочлен
 +$x^{56}-1.$
 +
 +РЕШЕНИЕ:​
 +
 +Мы знаем, что $x^n-1=\displaystyle\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)$,​ где $\Phi_d(x)$ -- многочлен деления круга, как известно,​ неприводимый. Имеем $56=2^3\cdot 7$.Воспользуемся свойствами многочленов деления круга:
 +$$\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)\ \textrm{при}\ 2\nmid n,\ n>​2,​\quad \Phi_{p^{r+1}}(x)=\Phi_p(x^{p^r}),​\quad\Phi_{p_1^{r_1+1}\cdots\ p_k^{r_k+1}}(x)=\Phi_{p_1\cdots p_k}(x^{p_1^{r_1}\cdots\:​ p_k^{r_k}}).$$
 +Находим $\Phi_1(x)=x-1,​\ \Phi_2(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{\Phi_1(x)}=x+1,​\ \Phi_7(x)=\displaystyle\frac{x^7-1}{\Phi_1(x)}=x^6+\ldots+x+1$. Далее $\Phi_4(x)=\Phi_2(x^2)=x^2+1$,​ $\Phi_8(x)=\Phi_2(x^4)=x^4+1$,​ $\Phi_{14}(x)=\Phi_7(-x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Теперь $\Phi_{28}(x)=\Phi_{14}(x^2)=x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1$,​ $\Phi_{56}(x)=\Phi_{14}(x^4)=x^{24}-x^{20}+x^{16}-x^{12}+x^8-x^4+1$.
 +
 +ОТВЕТ: $x^{56}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_7(x)\Phi_8(x)\Phi_{14}(x)\Phi_{28}(x)\Phi_{56}(x)$. Явные формулы см. выше.
 + 
 +3. Найти кольцо множителей и норму модуля $M=\{ 7, 3+\sqrt{-5}\}$
 +в поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. Подобен ли этот модуль
 +$\mathbb{Z}_K$?​
 +
 +РЕШЕНИЕ:​
 +
 +$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{-5}\}$. Мы знаем, что $E_M=\{ 1, c\sqrt{-5}\}$ с некоторым $c\in\mathbb{N}$. Запишем $$c\sqrt{-5}\cdot 7=7c\cdot(3+\sqrt{-5})-3c\cdot 7\in M,\quad c\sqrt{-5}\cdot(3+\sqrt{-5})=3c\sqrt{-5}-5c=3c\cdot(3+\sqrt{-5})-2c\cdot 7\in M. $$
 +Значит,​ подходит уже $c=1$, и $E_M=\mathbb{Z}_K$. ​
 +
 +Норма модуля может быть найдена как абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца множителей модуля к базису самого модуля. Имеем $1=\frac{1}{7}\cdot 7+0\cdot(3+\sqrt{-5}),​\quad \sqrt{-5}=-\frac{3}{7}\cdot 7+1\cdot(3+\sqrt{-5})$,​ откуда $N(M)=\frac{1}{7}$.
 +
 +Модули $\{ 1, \alpha\}$ и $\{ 1, \beta\}$ подобны тогда и только тогда, когда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны. Приведённые же квадратичные иррациональности эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. Число $\sqrt{-5}$ уже является приведённым,​ то есть принадлежит фундаментальной области
 +$$H=\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ -\frac{1}{2}<​\Re\tau<​0,​\ \Im\tau >0, |\tau|>​1\right.\right\}\bigcup\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ 0\leqslant\Re\tau\leqslant\frac{1}{2},​\ \Im\tau >0, |\tau|\geqslant1\right.\right\}.$$
 +А число $\displaystyle\frac{3+\sqrt{-5}}{7}$ эквивалентно приведённому числу $\displaystyle\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$. Отсюда видно, что модуль $M$ не подобен $\mathbb{Z}_K$.
 +
 +ОТВЕТ: $\{ 1, \sqrt{-5}\},​\ \frac{1}{7}$,​ нет.
 +
 +4. Найти группу единиц в кольце $\mathbb{Z}_K$ при
 +$K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$.
 +
 +РЕШЕНИЕ:​
 +
 +Из теории следует,​ что в действительном квадратичном поле алгебраических чисел есть одна фундаментальная единица. Она будет соответствовать минимальному решению уравнения Пелля $x^2-7y^2=\pm 1$. Это решение,​ как известно,​ доставляется числителем и знаменателем 3-й подходящей дроби, получаемой при разложении в цепную дробь числа $\sqrt{7}=[2;​\overline{1,​1,​1,​4}]$. Находим $x=8,\ y=3$.
 +
 +ОТВЕТ: $\{\pm\left(8+3\sqrt{7}\right)^n,​\ n\in\mathbb{Z}\}$.
 +
 +5. Разложить главный идеал $(3)$ в произведение простых идеалов в
 +поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$.
 +
 +РЕШЕНИЕ:​
 +
 +$\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{7}\}$. Минимальный многочлен $x^2-7$ числа $\sqrt{7}$ имеет по модулю 3 корни 1 и -1. Согласно общей теории можно записать
 +
 +ОТВЕТ: $(3)=(3,​\sqrt{7}-1)\cdot(3,​\sqrt{7}+1)$.
 +
 +**Для получения зачёта необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса**