Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
algnum [2018/09/17 16:22] Уланский Евгений Алесандрович [Алгебраические числа] |
algnum [2018/09/23 17:10] Уланский Евгений Алесандрович [Алгебраические числа] |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
======Алгебраические числа====== | ======Алгебраические числа====== | ||
- | Спецкурс, годовой, для студентов 3-6 курсов. Проходит **по четвергам с 16:45 в аудитории 14-15** с 20 сентября\\ | + | Спецкурс, годовой (можно сдать как два полугодовых), для студентов 1-6 курсов, читает член-корреспондент РАН, профессор [[нестеренко_юрий_валентинович|Юрий Валентинович Нестеренко]] **по четвергам с 16:45 в аудитории 14-15** с 27 сентября\\ |
Обязательный спецкурс для группы защиты информации, представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел. \\ | Обязательный спецкурс для группы защиты информации, представляющий из себя введение в теорию алгебраических чисел. \\ | ||
- | Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору, даже если не учитесь в группе защиты информац | + | Вы можете прослушать данный курс в качестве спецкурса по выбору, даже если не учитесь в группе защиты информации.\\ |
- | ии.\\ | + | |
- | =====Вопросы к зачёту===== | + | =====Программа курса===== |
- | 1. Простые расширения. Степень расширения. Поведение степени в башнях расширений. | + | Диофантово уравнение $y^3−x^2 = 2$. Простые расширения. Степень расширения. |
- | \\ | + | Поведение степени в башнях расширений. Неразрешимость задач |
- | 2. Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности алгебраических расширений и ее следствия. | + | удвоения куба и трисекции угла при помощи циркуля и линейки. |
- | \\ | + | |
- | 3. Алгебраическая замкнутость поля всех алгебраических чисел. | + | |
- | \\ | + | |
- | 4. Теорема о примитивном элементе. | + | |
- | \\ | + | |
- | 5. Доказательство теоремы о примитивном элементе в конечных полях. Структура конечных полей. | + | |
- | \\ | + | |
- | 6. Лемма о продолжении вложений и ее следствия. | + | |
- | \\ | + | |
- | 7. Нормальные расширения. Эквивалентность различных определений. | + | |
- | \\ | + | |
- | 8. Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. Норма и след в алгебраических расширениях, их свойства. | + | |
- | \\ | + | |
- | 9. Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис. | + | |
- | \\ | + | |
- | 10. Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$. | + | |
- | \\ | + | |
- | 11. Теорема о том, что множество целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел есть порядок. | + | |
- | \\ | + | |
- | 12. Теоремы Блихфельда и Минковского. | + | |
- | \\ | + | |
- | 13. Существование в полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных. | + | |
- | \\ | + | |
- | 14. Теорема Дирихле о единицах. Гомоморфизм группы единиц в $\mathbb{R}^{s+t}$. Структура образа и ядра этого отображения. | + | |
- | \\ | + | |
- | 15. Конструкция $s+t-1$ независимых единиц. | + | |
- | \\ | + | |
- | 16. Максимальность простых идеалов. Свойство обрывания возрастающих цепочек идеалов. | + | |
- | \\ | + | |
- | 17. Дробные идеалы. Доказательство равенства $M\cdot M^{-1} = \mathbb{Z}_K$. | + | |
- | \\ | + | |
- | 18. Теорема о существовании и единственности разложения идеалов в произведение простых. | + | |
- | \\ | + | |
- | 19. Показатели и их свойства. | + | |
- | \\ | + | |
- | 20. Норма идеала. Мультипликативность нормы. | + | |
- | \\ | + | |
- | 21. Норма главного идеала. | + | |
- | \\ | + | |
- | 22. Конечность группы классов идеалов. | + | |
- | \\ | + | |
- | 23. Разложение целых рациональных чисел в $\mathbb{Z}_K$. Теорема Куммера. | + | |
- | \\ | + | |
- | 24. Конечность множества разветвленных простых чисел. | + | |
- | \\ | + | |
- | 25. Теорема о делимости дискриминантов (условие Эйзенштейна). | + | |
- | **Для получения зачёта необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса** | + | Теорема об эквивалентности конечности и конечной порожденности |
+ | алгебраических расширений, её следствия. Алгебраическая замкнутость | ||
+ | поля всех алгебраических чисел. Теорема о примитивном элементе. Лемма | ||
+ | о продолжении вложений и ее следствия. Нормальные расширения. | ||
+ | Группа Галуа нормального расширения и её свойства. | ||
- | =====Задачи к зачёту===== | + | Поле разложения многочлена. Группа Галуа многочлена. Разрешимость |
+ | в радикалах уравнений второй, третьей и четвјртой степени. Круговые | ||
+ | поля. Теорема Гаусса о построении правильных многоугольников. | ||
+ | Конечные поля. Вычисление группы Галуа для некоторых многочленов. | ||
+ | Неразрешимость в радикалах уравнений пятой и более высоких степеней. | ||
- | 1. Вычислить $\Sigma=\displaystyle\sum\limits | + | Характеристический многочлен числа, его связь с минимальным многочленом. |
- | _{k=0}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}$, где $\left(\frac{k}{p}\right)$ -- символ Лежандра. | + | Норма и след в алгебраических расширениях, их свойства. |
+ | Дискриминант совокупности чисел, его свойства. Взаимный базис. | ||
- | РЕШЕНИЕ: | + | Лемма о дискретных подгруппах в $\mathbb{R}^n$. Теорема о том, что множество |
- | $$\Sigma^2=\sum\limits | + | целых алгебраических чисел произвольного поля алгебраических чисел |
- | _{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits | + | есть порядок. Теоремы Блихфельдта и Минковского. Существование в |
- | _{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}l}.$$ | + | полном модуле чисел с заданными ограничениями на величину их сопряженных. |
- | Заменим во внутренней сумме $l$ на $lk$. Это не изменит результата суммирования, так как $lk$ вместе с $l$ пробегает приведённую систему вычетов по модулю 7, а символ Лежандра и экспонента периодичны с периодом 7. Имеем | + | Теорема Дирихле о единицах. |
- | $$\Sigma^2=\sum\limits | + | |
- | _{k=1}^{6}\left(\frac{k}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}k}\sum\limits | + | |
- | _{l=1}^{6}\left(\frac{lk}{7}\right)e ^{\frac{2\pi i}{7}lk}=\sum\limits | + | |
- | _{l=1}^{6}\left(\frac{l}{7}\right)\sum\limits | + | |
- | _{k=1}^{6}e ^{\frac{2\pi i(l+1)}{7}k}=6\left(\frac{6}{7}\right)-\sum\limits | + | |
- | _{l=1}^{5}\left(\frac{l}{7}\right)=7\left(\frac{6}{7}\right)=-7.$$ | + | |
- | Здесь использовалось, что все степени от 1 до 6 числа $e ^{\frac{2\pi i}{7}}$ есть корни многочлена $x^6+\ldots+x+1$. Значит, $\Sigma=\pm i\sqrt{7}$. Чтобы определить знак, запишем явно | + | |
- | $$\Sigma=e ^{\frac{2\pi i}{7}}+e ^{\frac{2\pi i}{7}2}+e ^{\frac{2\pi i}{7}4}-e ^{\frac{2\pi i}{7}3}-e ^{\frac{2\pi i}{7}5}-e ^{\frac{2\pi i}{7}6}=2i\left(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\right).$$ | + | |
- | Выражение в скобках, очевидно, положительно. | + | |
- | ОТВЕТ: $\Sigma = i\sqrt{7}$. | + | Максимальность простых идеалов. Свойство обрыва возрастающих |
+ | цепочек идеалов. Дробные идеалы. Теорема о разложении идеалов в | ||
+ | произведение простых. Показатели и их свойства. Норма идеала. Мультипликативность | ||
+ | нормы. Норма главного идеала. Конечность группы | ||
+ | классов идеалов. Разложение целых рациональных чисел в произведение | ||
+ | простых идеалов кольца целых поля алгебраических чисел. Конечность | ||
+ | множества разветвленных простых чисел. | ||
- | 2. Разложить на неприводимые над $\mathbb{Q}$ множители многочлен | + | Теорема Ферма для регулярных простых чисел (теорема Куммера). |
- | $x^{56}-1.$ | + | |
- | РЕШЕНИЕ: | ||
- | Мы знаем, что $x^n-1=\displaystyle\prod\limits_{d|n}\Phi_d(x)$, где $\Phi_d(x)$ -- многочлен деления круга, как известно, неприводимый. Имеем $56=2^3\cdot 7$.Воспользуемся свойствами многочленов деления круга: | ||
- | $$\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)\ \textrm{при}\ 2\nmid n,\ n>2,\quad \Phi_{p^{r+1}}(x)=\Phi_p(x^{p^r}),\quad\Phi_{p_1^{r_1+1}\cdots\ p_k^{r_k+1}}(x)=\Phi_{p_1\cdots p_k}(x^{p_1^{r_1}\cdots\: p_k^{r_k}}).$$ | ||
- | Находим $\Phi_1(x)=x-1,\ \Phi_2(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{\Phi_1(x)}=x+1,\ \Phi_7(x)=\displaystyle\frac{x^7-1}{\Phi_1(x)}=x^6+\ldots+x+1$. Далее $\Phi_4(x)=\Phi_2(x^2)=x^2+1$, $\Phi_8(x)=\Phi_2(x^4)=x^4+1$, $\Phi_{14}(x)=\Phi_7(-x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Теперь $\Phi_{28}(x)=\Phi_{14}(x^2)=x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1$, $\Phi_{56}(x)=\Phi_{14}(x^4)=x^{24}-x^{20}+x^{16}-x^{12}+x^8-x^4+1$. | ||
- | ОТВЕТ: $x^{56}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_7(x)\Phi_8(x)\Phi_{14}(x)\Phi_{28}(x)\Phi_{56}(x)$. Явные формулы см. выше. | + | =====Конспект лекций===== |
- | + | {{:lectures_algebraic_numbers.pdf|Конспект лекций}}\\ | |
- | 3. Найти кольцо множителей и норму модуля $M=\{ 7, 3+\sqrt{-5}\}$ | + | {{:algnum_2018-2019.pdf|Программа}} |
- | в поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. Подобен ли этот модуль | + | |
- | $\mathbb{Z}_K$? | + | |
- | РЕШЕНИЕ: | + | [[algnum_old|Программа предыдущих лет]] |
- | + | ||
- | $\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{-5}\}$. Мы знаем, что $E_M=\{ 1, c\sqrt{-5}\}$ с некоторым $c\in\mathbb{N}$. Запишем $$c\sqrt{-5}\cdot 7=7c\cdot(3+\sqrt{-5})-3c\cdot 7\in M,\quad c\sqrt{-5}\cdot(3+\sqrt{-5})=3c\sqrt{-5}-5c=3c\cdot(3+\sqrt{-5})-2c\cdot 7\in M. $$ | + | |
- | Значит, подходит уже $c=1$, и $E_M=\mathbb{Z}_K$. | + | |
- | + | ||
- | Норма модуля может быть найдена как абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца множителей модуля к базису самого модуля. Имеем $1=\frac{1}{7}\cdot 7+0\cdot(3+\sqrt{-5}),\quad \sqrt{-5}=-\frac{3}{7}\cdot 7+1\cdot(3+\sqrt{-5})$, откуда $N(M)=\frac{1}{7}$. | + | |
- | + | ||
- | Модули $\{ 1, \alpha\}$ и $\{ 1, \beta\}$ подобны тогда и только тогда, когда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны. Приведённые же квадратичные иррациональности эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. Число $\sqrt{-5}$ уже является приведённым, то есть принадлежит фундаментальной области | + | |
- | $$H=\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ -\frac{1}{2}<\Re\tau<0,\ \Im\tau >0, |\tau|>1\right.\right\}\bigcup\left\{ \tau\in\mathbb{C}\ \left|\ 0\leqslant\Re\tau\leqslant\frac{1}{2},\ \Im\tau >0, |\tau|\geqslant1\right.\right\}.$$ | + | |
- | А число $\displaystyle\frac{3+\sqrt{-5}}{7}$ эквивалентно приведённому числу $\displaystyle\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$. Отсюда видно, что модуль $M$ не подобен $\mathbb{Z}_K$. | + | |
- | + | ||
- | ОТВЕТ: $\{ 1, \sqrt{-5}\},\ \frac{1}{7}$, нет. | + | |
- | + | ||
- | 4. Найти группу единиц в кольце $\mathbb{Z}_K$ при | + | |
- | $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$. | + | |
- | + | ||
- | РЕШЕНИЕ: | + | |
- | + | ||
- | Из теории следует, что в действительном квадратичном поле алгебраических чисел есть одна фундаментальная единица. Она будет соответствовать минимальному решению уравнения Пелля $x^2-7y^2=\pm 1$. Это решение, как известно, доставляется числителем и знаменателем 3-й подходящей дроби, получаемой при разложении в цепную дробь числа $\sqrt{7}=[2;\overline{1,1,1,4}]$. Находим $x=8,\ y=3$. | + | |
- | + | ||
- | ОТВЕТ: $\{\pm\left(8+3\sqrt{7}\right)^n,\ n\in\mathbb{Z}\}$. | + | |
- | + | ||
- | 5. Разложить главный идеал $(3)$ в произведение простых идеалов в | + | |
- | поле $K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$. | + | |
- | + | ||
- | РЕШЕНИЕ: | + | |
- | + | ||
- | $\mathbb{Z}_K=\{ 1, \sqrt{7}\}$. Минимальный многочлен $x^2-7$ числа $\sqrt{7}$ имеет по модулю 3 корни 1 и -1. Согласно общей теории можно записать | + | |
- | + | ||
- | ОТВЕТ: $(3)=(3,\sqrt{7}-1)\cdot(3,\sqrt{7}+1)$. | + | |
- | + | ||
- | **Для получения зачёта необходимо правильно решить не менее четырёх из пяти предложенных задач и показать полное владение теоретическим материалом курса** | + | |
- | + | ||
- | =====Конспект лекций===== | + | |
- | {{:lectures_algebraic_numbers.pdf|Конспект лекций Ю.В.Нестеренко}}\\ | + | |
- | {{:algebraicnumbers_program.pdf|Вопросы и задачи}} | + |