Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
adic_p [2018/09/22 22:21] Уланский Евгений Алесандрович создано |
adic_p [2021/09/23 18:37] Уланский Евгений Алесандрович [Введение в p-адический анализ] |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
====== Введение в p-адический анализ ====== | ====== Введение в p-адический анализ ====== | ||
- | Годовой спецкурс (можно сдать как два полугодовых) для студентов 2-6 курсов. Читает ассистент [[рочев_игорь_петрович|Рочев Игорь Петрович]] по вторникам в 18:30 в аудитории 13-20. \\ | + | Спецкурс фактически является годовым, но из-за особенностей учебных планов разбит на два полугодовых спецкурса: «Неархимедовы нормированные поля» (читается в осеннем семестре) и «Основы неархимедова анализа» (читается весной). |
- | + | Рассчитан на студентов 2–6 курсов.\\ | |
- | Специальный курс знакомит студентов с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Среди прочего в осеннем семестре мы поговорим про пополнение нормированного поля, сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых полях, построение полного алгебраически замкнутого расширения данного неархимедова нормированного поля. Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется. | + | Читает ассистент [[рочев_игорь_петрович|Рочев Игорь Петрович]] . \\ |
+ | Специальный курс знакомит слушателей с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Обсуждается построение алгебраически замкнутого полного расширения поля p-адических чисел (p-адического аналога поля комплексных чисел). Подробно изучаются аналитические функции p-адического аргумента, для которых доказываются аналоги многих фактов из стандартного курса комплексного анализа. Также рассматриваются некоторые теоретико-числовые приложения (например, теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейных рекуррентных последовательностей). Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется. | ||
===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА ===== | ===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА ===== | ||
Строка 12: | Строка 13: | ||
Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа. | Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа. | ||
- | Теорема о слабой аппроксимации. | + | Теорема о слабой аппроксимации. |
- | Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример: представители Тейхмюллера. | + | Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример: представители Тейхмюллера. |
Лемма Гензеля. Примеры: представители Тейхмюллера, извлечение корней. | Лемма Гензеля. Примеры: представители Тейхмюллера, извлечение корней. | ||
Строка 20: | Строка 21: | ||
Компактность кольца целых чисел. | Компактность кольца целых чисел. | ||
- | Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций. | + | Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций. |
- | Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание; явный вид продолжения. | + | Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание; явный вид продолжения. |
- | Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении. | + | Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении. |
- | Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых. | + | Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых. |
Лемма Краснера. | Лемма Краснера. | ||
Строка 33: | Строка 34: | ||
Построение полного алгебраически замкнутого расширения. | Построение полного алгебраически замкнутого расширения. | ||
+ | |||
+ | ===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ВЕСЕННЕГО СЕМЕСТРА ===== | ||
+ | |||
+ | Степенные ряды и аналитические в шаре функции: бесконечная дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора, теорема единственности, неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора, принцип максимума, теорема Лиувилля об ограниченной целой функции, алгебра аналитических функций как замыкание алгебры рациональных функций. | ||
+ | |||
+ | Логарифмическая и экспоненциальная функции. Теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейной рекуррентной последовательности. | ||
+ | |||
+ | Многоугольники Ньютона для многочленов; связь с корнями. | ||
+ | |||
+ | Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Разложение целой функции в бесконечное произведение. | ||
+ | |||
+ | Интеграл Шнирельмана. Теорема о вычетах. |