Введение в p-адический анализ

Спецкурс фактически является годовым, но из-за особенностей учебных планов разбит на два полугодовых спецкурса: «Неархимедовы нормированные поля» (читается в осеннем семестре) и «Основы неархимедова анализа» (читается весной). Рассчитан на студентов 2–6 курсов.
Читает ассистент Рочев Игорь Петрович .

Специальный курс знакомит слушателей с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Обсуждается построение алгебраически замкнутого полного расширения поля p-адических чисел (p-адического аналога поля комплексных чисел). Подробно изучаются аналитические функции p-адического аргумента, для которых доказываются аналоги многих фактов из стандартного курса комплексного анализа. Также рассматриваются некоторые теоретико-числовые приложения (например, теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейных рекуррентных последовательностей). Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.

Нормированные поля. Неархимедовы нормы. Эквивалентность норм. Нормы на поле рациональных чисел (теорема Островского).

Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа.

Теорема о слабой аппроксимации.

Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример: представители Тейхмюллера.

Лемма Гензеля. Примеры: представители Тейхмюллера, извлечение корней.

Компактность кольца целых чисел.

Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.

Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание; явный вид продолжения.

Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении.

Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.

Лемма Краснера.

Непрерывность корней многочленов как функций от коэффициентов (непрерывность алгебраических функций).

Построение полного алгебраически замкнутого расширения.

Степенные ряды и аналитические в шаре функции: бесконечная дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора, теорема единственности, неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора, принцип максимума, теорема Лиувилля об ограниченной целой функции, алгебра аналитических функций как замыкание алгебры рациональных функций.

Логарифмическая и экспоненциальная функции. Теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейной рекуррентной последовательности.

Многоугольники Ньютона для многочленов; связь с корнями.

Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Разложение целой функции в бесконечное произведение.

Интеграл Шнирельмана. Теорема о вычетах.