Спецкурс фактически является годовым, но из-за особенностей учебных планов разбит на два полугодовых спецкурса: «Неархимедовы нормированные поля» (читается в осеннем семестре) и «Основы неархимедова анализа» (читается весной). Рассчитан на студентов 2–6 курсов.
Читает Рочев Игорь Петрович.

Специальный курс знакомит слушателей с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Обсуждается построение алгебраически замкнутого полного расширения поля p-адических чисел (p-адического аналога поля комплексных чисел). Подробно изучаются аналитические функции p-адического аргумента, для которых доказываются аналоги многих фактов из стандартного курса комплексного анализа. Также рассматриваются некоторые теоретико-числовые приложения (например, теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейных рекуррентных последовательностей). Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.

Нормированные поля. Неархимедовы нормы. Эквивалентность норм. Нормы на поле рациональных чисел (теорема Островского).

Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа.

Теорема о слабой аппроксимации.

Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример: представители Тейхмюллера.

Лемма Гензеля. Примеры: представители Тейхмюллера, извлечение корней.

Компактность кольца целых.

Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.

Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание; явный вид продолжения.

Построение полного алгебраически замкнутого расширения.

Целое замыкание кольца целых в конечном расширении.

Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.

Лемма Краснера.

Непрерывность корней многочленов как функций от коэффициентов (непрерывность алгебраических функций).

Степенные ряды и аналитические в шаре функции: бесконечная дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора, теорема единственности, норма на алгебре аналитических функций, аналитичность композиции, принцип максимума, неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора, теорема Лиувилля об ограниченной целой функции, алгебра аналитических функций как замыкание алгебры рациональных функций.

Логарифмическая и экспоненциальная функции. Теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейной рекуррентной последовательности.

Многоугольники Ньютона для многочленов; связь с корнями.

Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Теорема об однолистности. Разложение целой функции в бесконечное произведение.

Интеграл Шнирельмана. Теорема о вычетах.