Введение в p-адический анализ

Годовой спецкурс (можно сдать как два полугодовых) для студентов 2-6 курсов. Читает ассистент Рочев Игорь Петрович по вторникам в 18:30 в аудитории 13-20.

Специальный курс знакомит студентов с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Среди прочего в осеннем семестре мы поговорим про пополнение нормированного поля, сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых полях, построение полного алгебраически замкнутого расширения данного неархимедова нормированного поля. Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА

Нормированные поля. Неархимедовы нормы. Эквивалентность норм. Нормы на поле рациональных чисел (теорема Островского).

Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа.

Теорема о слабой аппроксимации.

Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример: представители Тейхмюллера.

Лемма Гензеля. Примеры: представители Тейхмюллера, извлечение корней.

Компактность кольца целых чисел.

Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.

Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание; явный вид продолжения.

Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении.

Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.

Лемма Краснера.

Непрерывность корней многочленов как функций от коэффициентов (непрерывность алгебраических функций).

Построение полного алгебраически замкнутого расширения.