Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия 		Предыдущая версия
adic_p [2018/09/22 22:21]
Уланский Евгений Алесандрович создано 		adic_p [2021/09/23 18:37] (текущий)
Уланский Евгений Алесандрович [Введение в p-адический анализ]
Строка 1: Строка 1:
 ====== Введение в p-адический анализ ====== ====== Введение в p-адический анализ ======
  
-Годовой спецкурс ​(можно сдать как два полугодовых) для студентов 2-6 курсов. Читает ассистент [[рочев_игорь_петрович|Рочев Игорь Петрович]] по вторникам в 18:30 в аудитории 13-20. \\ +Спецкурс ​фактически является ​годовым, но из-за особенностей учебных ​планов разбит на два полугодовых спецкурса: «Неархимедовы нормированные поля» (читается в осеннем семестре) и «Основы неархимедова анализа» (читается весной). 
- +Рассчитан на студентов 2–6 курсов.\\ 
-Специальный курс знакомит студентов с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Среди прочего ​в осеннем семестре ​мы поговорим про пополнение нормированного поля, ​сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых полях, построение полного ​алгебраически замкнутого расширения данного неархимедова нормированного поля. Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.+Читает ассистент [[рочев_игорь_петрович|Рочев Игорь Петрович]] ​. \\
  
 +Специальный курс знакомит слушателей с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. Обсуждается построение алгебраически замкнутого полного расширения поля p-адических чисел (p-адического аналога поля комплексных чисел). Подробно изучаются аналитические функции p-адического аргумента,​ для которых доказываются аналоги многих фактов из стандартного курса комплексного анализа. Также рассматриваются некоторые теоретико-числовые приложения (например,​ теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейных рекуррентных последовательностей). Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.
  
 ===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА ===== ===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА =====
Строка 12: Строка 13:
 Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа. Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа.
  
-Теорема о слабой аппроксимации.+Теорема о слабой аппроксимации.
  
-Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример:​ представители Тейхмюллера.+Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример:​ представители Тейхмюллера.
  
 Лемма Гензеля. Примеры:​ представители Тейхмюллера,​ извлечение корней. Лемма Гензеля. Примеры:​ представители Тейхмюллера,​ извлечение корней.
Строка 20: Строка 21:
 Компактность кольца целых чисел. Компактность кольца целых чисел.
  
-Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.+Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.
  
-Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание;​ явный вид продолжения.+Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание;​ явный вид продолжения.
  
-Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении.+Целое замыкание кольца целых чисел в конечном расширении.
  
-Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.+Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.
  
 Лемма Краснера. Лемма Краснера.
Строка 33: Строка 34:
  
 Построение полного алгебраически замкнутого расширения. Построение полного алгебраически замкнутого расширения.
 +
 +===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ВЕСЕННЕГО СЕМЕСТРА =====
 +
 +Степенные ряды и аналитические в шаре функции:​ бесконечная дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора,​ теорема единственности,​ неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора,​ принцип максимума,​ теорема Лиувилля об ограниченной целой функции,​ алгебра аналитических функций как замыкание алгебры рациональных функций.
 +
 +Логарифмическая и экспоненциальная функции. Теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейной рекуррентной последовательности.
 +
 +Многоугольники Ньютона для многочленов;​ связь с корнями.
 +
 +Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Разложение целой функции в бесконечное произведение.
 +
 +Интеграл Шнирельмана. Теорема о вычетах.