Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия 		Предыдущая версия
adic_p [2018/09/22 21:21]
Уланский Евгений Алесандрович создано 		adic_p [2025/11/29 15:55] (текущий)
Нестеренко Ю.В. [ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА]
Строка 1: Строка 1:
-====== Введение в p-адический анализ ​======+===== Введение в p-адический анализ =====
  
-Годовой спецкурс ​(можно сдать как два полугодовых) для студентов 2-6 курсов. Читает ассистент [[рочев_игорь_петрович|Рочев Игорь Петрович]] ​по вторникам в 18:30 в аудитории 13-20. \\+Спецкурс ​фактически является годовым, но из-за особенностей учебных планов разбит на два полугодовых ​спецкурса:​ «Неархимедовы нормированные поля» (читается в осеннем семестре) и «Основы неархимедова анализа» (читается весной). 
 +Рассчитан на студентов 2–6 курсов.\\ 
 +Читает [[рочев_игорь_петрович|Рочев Игорь Петрович]] . \\
  
-Специальный курс знакомит студентов с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. ​Среди прочего в осеннем семестре мы поговорим про пополнение нормированного поля, сходимость ​последовательностей и рядов в полных неархимедовых полях, построение полного алгебраически замкнутого расширения ​данного неархимедова нормированного ​поля. Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.+Специальный курс знакомит слушателей ​с некоторыми аналитическими и алгебраическими вопросами теории неархимедовых нормированных полей, в частности полей p-адических чисел. ​Обсуждается ​построение алгебраически замкнутого ​полного расширения ​поля p-адических чисел (p-адического аналога поля ​комплексных чисел). Подробно изучаются аналитические функции p-адического аргумента, ​для которых доказываются аналоги многих фактов из стандартного курса комплексного ​анализа. Также рассматриваются ​некоторые теоретико-числовые приложения ​(например, теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейных рекуррентных ​последовательностей). Никаких предварительных знаний про p-адические числа (и нормированные поля) не требуется.
  
- +==== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА ====
-===== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСЕННЕГО СЕМЕСТРА ​=====+
  
 Нормированные поля. Неархимедовы нормы. Эквивалентность норм. Нормы на поле рациональных чисел (теорема Островского). Нормированные поля. Неархимедовы нормы. Эквивалентность норм. Нормы на поле рациональных чисел (теорема Островского).
Строка 12: Строка 13:
 Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа. Пополнение нормированного поля. Поле p-адических чисел. Стандартное представление p-адического числа.
  
-Теорема о слабой аппроксимации.+Теорема о слабой аппроксимации.
  
-Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример:​ представители Тейхмюллера.+Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях. Пример:​ представители Тейхмюллера.
  
 Лемма Гензеля. Примеры:​ представители Тейхмюллера,​ извлечение корней. Лемма Гензеля. Примеры:​ представители Тейхмюллера,​ извлечение корней.
  
-Компактность кольца целых ​чисел.+Компактность кольца целых.
  
-Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.+Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций.
  
-Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание;​ явный вид продолжения.+Существование и единственность продолжения нормы на алгебраическое замыкание;​ явный вид продолжения.
  
-Целое замыкание кольца целых ​чисел ​в конечном расширении.+Построение полного алгебраически замкнутого расширения. 
 + 
 +Целое замыкание кольца целых в конечном расширении.
  
-Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.+Индекс ветвления и степень поля вычетов конечного расширения. Многочлены Эйзенштейна и вполне разветвлённые расширения. Неразветвлённые расширения. Описание произвольного конечного расширения в терминах неразветвлённых и вполне разветвлённых.
  
 Лемма Краснера. Лемма Краснера.
Строка 32: Строка 35:
 Непрерывность корней многочленов как функций от коэффициентов (непрерывность алгебраических функций). Непрерывность корней многочленов как функций от коэффициентов (непрерывность алгебраических функций).
  
-Построение ​полного алгебраически замкнутого расширения.+==== ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ВЕСЕННЕГО СЕМЕСТРА ==== 
 + 
 +Степенные ряды и аналитические в шаре функции:​ бесконечная дифференцируемость и разложение ​в ряд Тейлора, теорема единственности,​ неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора,​ принцип максимума,​ теорема Лиувилля об ограниченной целой функции, ​алгебра ​аналитических функций как ​замыкание алгебры рациональных функций. 
 + 
 +Логарифмическая и экспоненциальная функции. Теорема Скулема–Малера–Леха о нулях линейной рекуррентной последовательности. 
 + 
 +Многоугольники Ньютона для многочленов;​ связь с корнями. 
 + 
 +Многоугольники Ньютона для ​степенных рядов и нули аналитических функций. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Разложение целой функции в бесконечное произведение. 
 + 
 +Интеграл Шнирельмана. Теорема о вычетах.