Экспериментальная оценка точности метода осреднения
Целью
работы, проведенной студентом 3-го курса А.
Сафоновым, является экспериментальная
оценка точности раздичных приближений
метода осреднения (см., например,
Б. Е. Победря “Механика композиционных материалов”,
1984, стр. 91-100 ). Сравнение приближений
метода с точным решением проведено на примере
простейшей одномерной задачи теории упругости
о равновесии стержня под действием синосуидальной
нагрузки в качестве объемной силы. Сравнение
прведено в случаях, когда период силы приближается
к периоду структуры. В ходе работы была
написана компьютерная программа, которая реализует
этот метод.
Задача
о растяжении бруса (длина которого взята
равной 3) схематично изображена на рис.
1. График модуля Юнга (рис. 2) является
разрывной и периодической функцией, у
которой максимальное значение превышает
минимальное в 100 раз. Период силы равен
1.
На
графиках решения использованы обозначения:
-
точное решение (черная линия);
-
гладкое приближение (черная штриховая);
-
первое и второе приближение (синяя и синяя
штриховая);
-
третье и четвертое (красная и красная штриховая);
-
пятое и шестое (зеленая и зеленая штриховая).
В
качестве примера приведены три рисунка для разных
объемных сил F1=5*sin(pi*x) (период равен 2, см.
рис. 3), F2=5*sin(3/2*pi*x) (период - 4/3, рис.
4), F3=5*sin(3*pi*x) (период 2/3, рис. 5).
Видно,
что для:
-
в случае нагрузки F1 метод работает хорошо,
первое приближение дает почти точное решение;
-
в случае нагрузки F2 метод работает уже хуже,
чтобы получить прошлый результат необходимо
взять шестое приближение;
-
в случае нагрузки F3 метод дает существенно
худшую точность, причем с увеличением номера
приближения точность ухудшается.
Рис. 1
|
Рис. 2
|
Вывод.
Метод
хорошо работает, когда период объемной силы
превышает в несколько раз период модуля Юнга.
Рис.
3
Рис.
4
Рис.
5
