Основные научные результаты, полученные в рамках научной школы.

Разработаны взаимообратные определяющие соотношения нелинейной термовязкоупругости, в которой учитывается эффект тепловыделения при деформировании, доказана ее корректность и решены практически важные задачи. Предложенный метод "численной реализации упругого решения" позволяет по решению задачи теории упругости с различными коэффициентами Пуассона, найденными численно или экспериментально, построить в квадратурах по времени решение соответствующей задачи теории вязкоупругости.

Разработаны деформационная теория пластичности и теория течения анизотропных материалов; на случай анизотропии обобщена общая теория процессов деформирования.

Созданы основы вычислительной механики композитов. На основе метода осреднения была разработана процедура определения микронапряжений (т.е. напряжений в компонентах композита), микротемпературы и других параметров упругих, вязкоупругих и упругопластических композитов. Построены явные аналитические выражения для тензоров упругих податливостей слоистых композитов, для тензора модулей упругости однонаправленных композитов, для эффективных характеристик пьезокомпозитов а также функционалы концентрации напряжений, позволяющие определять напряжения вокруг концентраторов в слоистых и волокнистых упругих, вязкоупругих и упругопластических композитов. Предложены методы определения микронапряжений в композиционных оболочках и критерии прочности анизотропных и композиционных материалов, в том числе и термодинамические. За большой вклад в создание и развитие вычислительной механики композитов Б.Е.Победря удостоен Государственной премии СССР.

Дана принципиально новая постановка задачи механики твердого тела в напряжениях, которая заключается в решении шести обобщенных уравнений совместности относительно шести независимых компонент тензора напряжений, и сформулирован соответствующий вариационный принцип. Применение новой постановки задачи МДТТ в напряжениях позволяет на порядок улучшить точность искомого решения по сравнению с традиционной постановкой в перемещениях. За цикл работ по развитию новой постановки задачи в напряжениях Б.Е.Победря и С.В.Шешенин в 2006 году были удостоены Ломоносовской премии.

Важным направлением работы коллектива является теория определяющих соотношений. Проведен анализ новых операторных определяющих соотношений анизотропных сред (вязкоупругих, упругопластических, вязкопластических, фильтрационно-консолидационных). Указаны требования к касательным операторным модулям, обеспечивающим корректность постановки задачи (в перемещениях, напряжениях), и наилучшую сходимость итерационных процессов. Учитывается связанность физических полей. Для каждой группы симметрии, связанной с механическими (векторными) свойствами среды, построены инвариантные подпространства, в которых используются скалярные свойства определяющих соотношений.

Разработаны теоретические основы расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) шин как резинокордных композитов на основе трехмерного моделирования. Исследован и реализован в виде программ пошаговый метод решения нелинейных и неоднородных задач теории упругости. Осуществлена программная реализация расчета НДС в трехмерном случае.

Проведены исследования по фракталам в механике композитов (структура дисперсных и конструкционных материалов, перколяционные кластеры при разрушении композитов, аттракторы итерационных систем и др.). Изучены связи структуры композитов с их прочностью.

Сформулированы новые критерии прочности (в том числе и термодинамические), удобные при использовании методов вычислительной механики композитов.

Разработаны эффективные численные методы решения трехмерных квазистатических задач линейной и нелинейной теории упругости, вязкоупругости и теории пластичности. Предложен и обоснован новый "быстросходящийся" метод последовательных приближений.

Исследована устойчивость процессов деформирования вязкопластических, идеальнопластических сред, сред с достаточно сложными определяющими соотношениями. Получены достаточные интегральные оценки устойчивости вязкопластических, идеально пластических и нелинейно-вязких течений.

Исследованы математические модели поведения биологических тканей в акустическом, электромагнитном и тепловом полях, взаимодействия биологических тканей с физическими полями в процессе медицинской диагностики и терапии. Изучены особенности возникающих при этом обратных некорректных задач. Предложена математическая модель томографа.

Предложены адаптивные комбинированные итерационные методы для задач упругости и пластичности. Проведены исследования по эффективности ряда современных итерационных методов решения трехмерных задач и эффективности их распараллеливания на сети персональных компьютеров.

Решены важные прикладные задачи механики композитов. Дан численный анализ известной задачи "о закладных элементах". Построен тензор концентрации напряжений для упругого пространства с включениями различной формы.

Исследованы процессы фильтрации жидкости в деформируемом твердом скелете для задач инженерной геологии. Создана математическая модель геотехногенных композитов и на ее основе решен ряд прикладных задач. Проведено исследование задач термодиффузии в композитах.

Разработаны новые модели линейной теории вязкоупругости на основе дробного дифференциального и интегрального исчисления. С помощью этих моделей удалось построить точные аналитические выражения для функции диссипации.

Разработаны методы статистических испытаний Монте-Карло для решения пространственных задач теории упругости для анизотропной и анизотропной среды при различных граничных условиях.

Без использования кинематических гипотез разработан принципиально новый подход к построению технических теорий балок, пластинок и оболочек из анизотропных композиционных материалов.