Предисловие

Основу настоящего пособия составляет содержание лекций для студентов факультета наук о материалах МГУ им. М.В. Ломоносова, читаемых автором с 1995 года. Это пособие призвано помочь студентам овладеть основами теории вероятностей и математической статистикой в такой степени, чтобы они могли не только осознанно применять полученные знания в процессе обучения и работы, но и, по мере необходимости, углублять и расширять их путем дальнейшего самообразования.

Курс теории вероятностей и математической статистики на факультете наук о материалах (ФНМ) читается в течении одного семестра на втором году обучения и является составной частью общего математического цикла. Значение такого курса очевидно: во-первых, это неотъемлемая часть современного университетского образования; во-вторых, в профессиональной деятельности ученого-материаловеда, как и любого другого естествоиспытателя, не обойтись без статистической обработки больших массивов данных, получаемых в результате экспериментов. Таким образом, за неполные четыре месяца студент должен ознакомиться с основными вероятностными закономерностями, статистическими идеями и подходами, а также приобрести базовые навыки обращения с вероятностным материалом. Это очень непростая задача, если учесть общую напряженность учебного плана ФНМ. Для сравнения достаточно сказать, что на механико-математическом факультете МГУ и на теорию вероятностей, и на математическую статистику отводят по отдельному семестру. Справедливости ради заметим, что общий высокий уровень студентов ФНМ и система контроля за успеваемостью, принятая на этом факультете, частично снимают остроту этой проблемы.

В настоящее время существует большое число прекрасных образцов учебной литературы по теории вероятностей и математической статистике; неполный перечень книг по этой тематике, написанных в Московском университете, приводится в конце настоящей брошюры. Однако, очевидно, что невозможно читать конкретный курс лекций близко к какому-то одному учебнику, следовательно, студентам приходится выборочно читать разные главы в разных книгах (как правило, в тех, которые оказываются под рукой) вперемешку с конспектом лекций. Автор далек от того, чтобы считать такую практику порочной, в ней бесспорно имеются и положительные моменты: свободный, самостоятельный выбор можно только приветствовать. Вместе с тем, представляется целесообразным дать студентам сжатое, но систематическое и цельное изложение курса, которое, с одной стороны, по своему объему было бы достаточным для усвоения основ вероятностной науки и служило теоретической основой для практических семинарских занятий, а, с другой стороны, ориентировало бы студентов в выборе книг для самостоятельного углубления и расширения своих знаний.

При компоновке содержания пособия автор исходил из того, что статистика более значима для будущих естествоиспытателей по сравнению с теорией вероятностей. Вместе с тем, без навыков владения основными вероятностными понятиями и понимания важнейших ее результатов (таких, как законы больших чисел и центральная предельная теорема) невозможно даже говорить о каком-либо научном понимании статистических методов. Поэтому первая вероятностная часть (главы 1-5) содержит, главным образом, то, что затем потребуется для усвоения второй статистической части пособия (главы 6-10). Изложение теории вероятностей следует традиционной для Московского университета манере: вначале основные понятия обсуждаются в дискретном случае, затем в общем. У студентов должно быть сформировано представление о теории вероятностей как о строгой и цельной математической науке. В курсе объясняется, что основания этой науки обеспечиваются аксиоматикой А.Н. Колмогорова. Мы сознательно избегаем тяжелых в техническом отношении доказательств, но оставляем доказательства, имеющие прозрачный вероятностный смысл, способствующие усвоению материала. Подчеркивается особая значимость предельных теорем. При отборе статистических методов, которые включены в курс, основное внимание уделяется их универсальности. Подробно излагаются идеи, лежащие в основе тех или иных статистических приемов, в надежде, что это окажется более полезным для дальнейшего образования, чем обилие технических деталей. В тексте много замечаний, которым отводится важная роль, поскольку они разъясняют или дополняют утверждения теорем. Помимо этого, некоторые из них содержат литературные ссылки, обращаясь к которым можно расширить свои познания. Это связано и с тем, что из года в год любознательные студенты задают одни и те же вопросы, выходящие за рамки программы, и, обобщая этот опыт, автор сделал попытку ответить на некоторые из них в этой брошюре. В тексте имеется большое число обязательных упражнений, которые должны служить элементом контроля (или самоконтроля) над усвоением материала. Это, главным образом, теоретические упражнения, в отличие от тех, которые формируют конкретные практические навыки и решаются на семинарских занятиях. Кроме того, в главе 10 приведены краткие статистические таблицы для основных распределений, используемые при решении задач. В конце приводится предметный указатель, позволяющий быстро найти необходимое понятие.

Автор надеется, что это учебное пособие может быть полезным и для студентов других нематематических специальностей, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику.

Пользуясь возможностью, хочу выразить свою глубокую благодарность коллективу кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ за творческую атмосферу, которая во многом способствовала работе над рукописью. Особенно хочу поблагодарить всех тех коллег, которые учили меня теории вероятностей, и по чьим книгам я учился. Профессор Л.Г. Афанасьева и профессор Ю.Н. Тюрин оказали мне большую честь, взяв на себя труд по прочтению первоначальной рукописи. Я очень благодарен им за их доброжелательные советы по улучшению изложения, которые я постарался учесть в окончательной редакции. Автор очень признателен дружному коллективу Факультета наук о материалах МГУ, особенно заместителю декана И.В. Архангельскому, многочисленные беседы с которым во многом определили содержание и характер этого курса. Хочу поблагодарить Е.В. Майкова, руководителя математического цикла ФНМ, за его постоянную поддержку и ценные советы в период подготовки настоящего пособия.