Спецкурс, годовой, для студентов 2-4 курсов,
читает доцент Уланский Евгений Александрович.

Спецкурс охватывает результаты со времён Якоба Бернулли и Леонарда Эйлера до наших дней. Вы узнаете о том, как одна из наиболее известных классических задач и её блистательное решение привели к рождению увлекательного направления современной теории чисел, и ознакомитесь не только с доказательствами интересных теорем, но и с открытыми проблемами, как современными, так и трёхсотлетней давности.

Дзета-значения $\displaystyle\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},\ s=2,3,4,\ldots$ Базельская задача. Её решение $\displaystyle\left(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\right)$ Леонардом Эйлером.

Теорема Роже Апери об иррациональности $\zeta(3)$.

Теорема Танги Ривоаля и Кита Болла об иррациональности $\zeta(2n+1)$ для бесконечно многих $n$.

Теорема Вадима Зудилина об иррациональности хотя бы одного из четырёх чисел $\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)$.

Классические полилогарифмы $\displaystyle\textrm{Li}_s(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^s},\ s=1,2,3,\ldots$ Точные формулы Эйлера и Джона Ландена для значений полилогарифмов при некоторых $z$.

Кратные дзета-значения $\zeta(s_1,s_2,\ldots,s_k)=\displaystyle\sum\limits_{n_1>n_2>\ldots>n_k\geqslant 1}\frac{1}{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_k^{s_k}}$. Формулы Эйлера для кратных дзета-значений, включая $\zeta(2,1)=\zeta(3)$

Стандартные соотношения для кратных дзета-значений.

Соотношения Майкла Хоффмана.

Соотношения Ясуо Оно.

Теорема о полной сумме.

Теорема о дуальности.

Линейные пространства, порождённые кратными дзета-значениями фиксированного веса.