(Москва)

Как-то мне пришлось спросить несколько опытных учителей пятых классов о том, какой примерно процент учащихся действительно научается решать арифметические задачи, не являющиеся простыми вычислительными примерами, т. е. такие, где способ решения, как бы прост он ни был, должен быть найден самим учащимся. Из всех опрошенных мною учителей только один утверждал, что этому искусству удается научить до 15% учащихся; все другие говорили, что лишь отдельные учащиеся овладевают этим искусством, а некоторые даже заявляли, что "этому вообще научить невозможно". Конечно, решив целый ряд совершенно однотипных задач, ученик без труда решит задачу в точности того же типа (этим объясняется отсутствие сплошных провалов на экзаменах и контрольных работах); но добиться, чтобы ученик самостоятельно нашел решение задачи нового, хотя бы и очень простого типа, - это, по единодушному мнению учителей, есть дело, удающееся только в самых исключительных случаях.

Таким образом, как раз то "развитие сообразительности", которое у нас любят выставлять как основную цель введения "трудных задач", оказывается, никак не удается даже у лучших учителей.

Сопоставим с этим другой факт: хорошо известно, что большая часть наших ученых математиков, как правило, становится в тупик перед задачам из элементарной арифметики. Я лично охотно признаюсь, что всякий раз, когда ученик пятого класса среди моих знакомых просил меня помочь решить арифметическую задачу, дело это для меня оказывалось весьма тяжелым, а подчас я терпел и полную неудачу. Я, как и большинство моих товарищей, легко решал, конечно, предложенную задачу естественным алгебраическим путем (т. е. составлением уравнения или системы уравнений); но ведь надо было во что бы то ни стало обойтись без алгебраического анализа! Обычно если мне в конце концов удавалось найти такое решение, оно все же оставляло меня неудовлетворенным: моя научная совесть неумолимо подсказывала мне, что тут остается какой-то туман, не все ясно. В результате, как правило, и ученика мое решение не удовлетворяло, и он явно лишь из вежливости принимал его. Иногда в таких случаях я потом пытался узнать, как же объяснил решение задачи учитель? Должен признаться, что и в рассуждениях учителя для меня почти всегда оставался тяжкий элемент ненатуральности и искусственности. Я лично отказался бы преподнести классу такое рассуждение; всякий математик знает, какое мучительное чувство охватывает душу, когда подчас бываешь вынужден преподавать другим что-нибудь в такой форме, которая самого себя не вполне удовлетворяет: речь становится медленной и напряженной, слова выходят не те, какие нужно, и смущение твое быстро передается слушателям. При таких условиях вряд ли приходится удивляться тому, что большинство детей так и не научаются решать арифметические задачи.

Описывая всю эту тяжелую ситуацию, я думаю, что не очень сгустил краски. Если в отдельных случаях дети все же научаются решать задачи, интуитивно отличают правильное рассуждение от ложного, находят в этих упражнениях ума здоровое удовольствие и в конечном счете действительно развивают свою сообразительность, то такие исключения способны только подтвердить печальное общее правило. Кто же (или что же) несет ответственность за такое положение вещей? Ведь это не шутка, когда львиная доля огромного числа часов, уделяемого в пятых классах арифметике, тратится на дело, в отношении большинства учащихся заведомо безнадежное. Кстати, хорошо известно и многократно отмечалось, что, как правило, ни оканчивающие школу, ни студенты педвузов, ни начинающие учителя (ни, прибавим от себя, научные работники) не умеют решать арифметических задач, да и вряд ли на всем свете кто-нибудь умеет решать их, кроме учителей пятых классов.

Прежде чем попытаться ответить на этот вопрос, рассмотрим ряд примеров, анализ которых придаст больший вес нашим выводам.

Сначала решим задачу алгебраически. Обозначим искомые числа через х и у, тогда

х - у=25,

у/x=2/3 : 3/2 = 4/9

откуда

у=4/9х,   х - 4/9 х=25,  5/9 х=25,  х=45,  у=20.

Теперь попробуем решить задачу "арифметически". Конечно, здесь возможны разные варианты; я выбираю тот, который мне кажется простейшим.

1) Какую долю возраста отца составляет возраст сына?

2/3 : 3/2 = 4/9 ¹⁾,

2) Какую долю возраста отца составляет разность между возрастом отца и возрастом сына?

Так как возраст сына составляет 4/9 возраста отца, то разность между ними составляет 1- 4/9 = 5/9 возраста отца.

Я хотел бы обратить внимание на то, что ответить на этот вопрос, а еще более - придумать, поставить этот вопрос есть дело, которое, на мой взгляд, самостоятельной изобретательности рядового ученика пятого класса недоступно. Если же вопрос и ведущее к ответу рассуждение ему будут навязаны, они непременно оставят в нем тяжелое ощущение искусственности, а может быть, даже и софистической подтасовки. Конечно, можно придумать сколько угодно более или менее пространных пояснений; однако, насколько я вижу, все они будут говорить с ребенком все тем же, искусственно-надуманным, непривычным и не свойственным ему языком и потому оставят в нем то же тяжелое ощущение. В лучшем случае, если вопрос и ответ будут им поняты, у него все же останется недоумение, каким образом он сам мог бы догадаться, что именно этот странный вопрос здесь должен быть поставлен.

3) Сколько лет отцу?

Здесь все уже просто: если 5/9 возраста отца составляют 25 лет, то этот возраст равен

25: 5/9 = 45 (лет);

разумеется, возраст сына теперь уже находится непосредственно.

Это пример очень легкой задачи. Прослеживая ее решение, мы прежде всего совершенно очевидным образом приходим к следующему выводу: так называемое "арифметическое" решение задачи ничем c логической стороны не отличается от алгебраического. Мы отнюдь не заменяем алгебраического анализа каким-либо другим способом решения, а, напротив, от начала до конца этот анализ проводим, как и в случае алгебраического решения, с той только разницей, что вместо формул пользуемся тяжелыми и неуклюжими словесными формулировками.

Далее мы замечаем, что если с алгебраической точки зрения эта задача есть простой пример на составление системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными - пример, решаемый привычными, механическими приемами, не требующими ни малейшей изобретательности, то с точки зрения арифметической", т.е. когда мы хотим тот же анализ провести без помощи привычного алгебраического аппарата, задача становится задачею "на соображение", т.е. требует вымысла, догадки, и притом - повторяю - догадки, на мой взгляд, искусственной и чуждой сознанию 12-летнего ребенка.

Рассмотрим теперь несколько более сложную (хотя тоже нетрудную) задачу.

Разделить число 22 на три части при условии, что если прибавить к одному из полученных чисел 0,5, от другого отнять 1,5, третье умножить на 2,5, то получатся одинаковые результаты.

Алгебраическое решение. Пусть х, у, z - искомые числа, тогда

x + y + z=22,  х + 0,5 = у - 0,5 = 2,5z,

откуда

x = (5z - 1)/2,  y = (5z + 3)/2,

(5z - 1) + (5z + 3)/2 + z = 22,  6z + 1 = 22,

z = 3,5;   x = 8,25;   y= 10,25.

Теперь я снова предлагаю тот вариант "арифметического" решения, который представляется мне наиболее убедительным для ученика. Но здесь я с самого начала наталкиваюсь на трудность, которую я не в силах преодолеть: мне никак не удается найти сколько-нибудь разумной формулировки последовательных вопросов. Я поэтому предоставляю это дело (т.е. формулировку вопросов) более компетентным товарищам, а сам позволю себе обойтись вовсе без вопросов.

1) Так как, умножая третье число на 2,5 и прибавляя к первому числу 0,5, мы получаем одно и тоже число, то

2) Так как тот же результат мы получили бы, отнимая 1,5 от второго числа, то

3) Таким образом, сложить все три числа, это все равно, что сложить

2,5 третьих чисел без 0,5;

и третье число,

что в сумме дает шесть третьих чисел плюс 1. Но эта сумма по условию задачи равна 22. Значит шесть третьих чисел в сумме дают 22 - 1=21, откуда третье число равно

21 : 6 = 3,5.

Первое и второе числа теперь уже легко находятся, и на этом можно не останавливаться²⁾.

Неужели не ясно, что все это рассуждение не представляет собой никакого своеобразного "арифметического метода", но есть дословный перевод вышеприведенного алгебраического решения с языка формул на язык слов? И неужели не видно, что этот последний язык в данном случае неуклюж, неточен, мало выразителен, производит впечатление надуманности, искусственности и что просто бессмысленно требовать от рядового ученика пятого класса, чтобы он сам все это выдумал? Может быть я решил не так, как нужно? Пусть тогда мне укажут более естественное "арифметическое" рассуждение.

Я не подбирал примеров искусственно, а взял два первых попавшихся; положительно утверждаю, что почти все арифметические задачи, выходящие за пределы просто вычислительных примеров, носят тот же характер; это сплошь алгебраические задачи на составление уравнений и систем уравнений первой степени. Конечно, если это угодно, то можно всегда, ценою весьма неприятной искусственности и значительного затемнения метода, весь необходимый алгебраический анализ задачи провести словесно, без формул и буквенных обозначений; как все это выглядит на практике, мы только что видели. Надеюсь, что я не одинок в резком чувстве отвращения к подобного рода "арифметическим" решениям.

Для чего все это нужно? Какую "сообразительность", какие вообще ценные способности ума можно развить в ребенке, заставляя его проделывать такие противоестественные, инстинктивно отталкивающие его упражнения? В седьмом классе на уроках алгебры он научится решать те же задачи легко, естественно, почти механически. Не похоже ли это на то, как если бы солдата в течение первого года службы заставляли овладевать ружьями, скажем, допетровской Руси, а только потом дали ему в руки винтовку современного образца?

Много и настойчиво говорят у нас о трудностях, связанных с преподаванием арифметики в пятых классах. Однако при анализе такого рода жалоб почти всегда оказывается, что собственная задача арифметики - изучение чисел и действий над ними - никогда непреодолимых трудностей не вызывает; что остается подлинно непосильной задачей, это научить детей решать задачи " на соображение", т. е. самостоятельно изобретать способ решения задач, не являющихся простыми примерами применения арифметических действий. Мы только что видели специфический характер этого рода задач и пытались выяснить всю естественность, даже неизбежность того, что решать их не могут не только учащиеся пятых классов, но и оканчивающие среднюю школу, студенты педвузов, а подчас и сами учителя (особенно начинающие). Надо тут же прибавить, что в старых задачниках попадались и "трудные" задачи иного рода (хотя и в значительно меньшем числе), где для решения требовался не элементарный алгебраический анализ, а изобретение специального, подчас весьма хитроумного рассуждения - изобретение, требующее специального конструкторского дарования, являющееся уже актом логического творчества; некоторые научные работники настаивали на включение в курс пятого класса именно такого рода задач, и притом даже в возможно большем числе. Не думаю, чтобы такое требование было целесообразно; массовая школа никак не может в своем основном преподавании ориентироваться на возможности и нужды будущих специалистов-математиков; требующее специальной одаренности научное творчество не может входить в круг ее основной, обязательной для всех учеников работы в качестве сколько-нибудь значительного элемента; в лучшем случае такого рода задачи могли бы входить в качестве факультативного элемента для желающих или для работы научного кружка; делать же ставку на овладение головоломными задачами всей основной массой учащихся значит, на мой взгляд, сознательно заниматься иллюзиями. Особенно досадно, когда сознаешь, что впустую потраченное на эти безнадежные попытки время могло бы быть с огромной выгодой использовано для лучшего овладения процентными вычислениями, действиями над десятичными дробями и т. п.; что неокрепшему еще в производстве этих элементарных операций детскому сознанию, вместо того чтобы по возможности расширить круг соответствующих упражнений, навязываются задачи-головоломки, как правило, ему недоступные и его бесцельно изнуряющие. Ни в одной другой школьной дисциплине ничего подобного не практикуется, и по вполне понятной причине: сколько бы мы ни говорили о "развитии сообразительности", остается несомненным фактом, что всякая попытка стимулировать научное творчество в области, которой учащийся сам еще твердо и полностью не овладел, способна вызвать либо верхоглядство, либо разочарование и недоверие к науке и ее преподаванию.

Итак, резюмируем. Те задачи в курсе арифметики пятого класса, которые называют "задачами на соображение" и на культивировании которых настаивают некоторые представители нашей математической общественности, представляют собой в подавляющем большинстве случаев алгебраические задачи на составление уравнений, которые лишь весьма искусственным путем могут быть решаемы без помощи алгебраического анализа, в некоторых же случаях - задачи-головоломки, требующие для своего решения прямого логического изобретательства и, значит, соответствующих специальных способностей.

По причинам, которые указаны выше, я считаю, что оба эти типа задач должны быть исключены из основного материала арифметики пятого класса. Программа этого курса достаточно напряженная, она богата новыми понятиями и арифметическими операциями. Надо, как всегда, ухватиться за главное звено и все внимание направить на отнюдь не легкую задачу прочного усвоения этих понятий и этих операций, не отвлекая силы на чужеродные, второстепенные и - главное - вряд ли достижимые цели.

Те, кто настаивает на этого рода задачах, презрительно называют наши задачники "примерниками"; я предложил бы не пугаться этой клички; во всех школьных дисциплинах основною целью упражнений считается приобретение навыков в практическом применении усвоенного теоретического материала, и в этом не видно ничего зазорного; я не видел бы ничего зазорного и в том, чтобы арифметика следовала этому разумному и естественному обычаю.

Будем помнить, что всякая арифметика, в том числе и школьная, есть все-таки прежде всего учение о числах и операциях над ними. Дело это важное, ответственное и служит основою всего дальнейшего математического (и не только математического) образования. И при выполнении этого дела устремим все наши усилия и все усилия наших учеников в этом основном направлении, не уклоняясь от него и не подменивая его как угодно соблазнительными лозунгами вроде "развития сообразительности".