%----------------------------------------------------------------------
\documentclass[11pt,twoside]{article}  
%----------------------------------------------------------------------
\def\wdeb{0}
%---
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{bezier}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsmath,amsbsy,amsthm,amscd}%I included these styles
%========================================
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}   % load Babel setup for English
\usepackage{allerree}
\usepackage{multirow}
\usepackage{stmaryrd,mathrsfs}
%---- ПАПКА С РИСУНКАМИ -----------------------------------------------
\def\picdir{./PICS/}
\createfiles
\begin{document}
%======================================================================
\cleanbegin
%======================================================================

\def\udk{511}
\ltitle{ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ СТАТЬИ \\ 
ДЛЯ ВЕСТНИКА МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА \\ СЕРИЯ МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА}
{В.\,В.~Владимиров\footnote[1]{%
{\it Владимиров Владимир Владимирович} --- доктор физ.-мат. наук, проф.
каф. ... мех.-мат. ф-та МГУ, 
e-mail: vvvladimirov@mech.math.msu.su.}
}


\iabstract{%АННТОНЦИЯ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ:
В статье приводится пример оформления статьи для журнала Вестник Московского Университета (при использовании MikTex 2.4 или 2.5). 
Серия Математика. Механика.
В статье запрещается использование автоматической нумерации объектов.
Количество макроопределений дожно быть сведено до минимума.
}
{%КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ:
характер Дирихле, формула Постникова для характера Дирихле, 
метод Хуа Ло-кена оценок полных рациональных тригонометрических сумм.}
{%АННТОНЦИЯ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ:
A root estimate is obtained for a sum of Dirichlet characters of
the polynomial $ax^n+b$ over a reduced residue system.}
{%КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ:
Dirichlet character, Postnikov's formula for a Dirichlet character,
Hua Loo-keng's method for estimation of complete rational trigonometric sums.}

%------------------------------------------------------------------

Исследование проблемы Гольдбаха--Варинга [1, 2] приводит к
оценке рациональных тригонометрических сумм от многочлена по
приведенной системе вычетов, т.е. сумм вида
$$
    T(a,q)=\mathop{\sum\limits_{x=1}^q}\limits_{(x,q)=1} e^{2\pi
    i\frac{ax^n}{q}},
\eqno(1)
$$
где $a,q,n$~---~натуральные числа.
\medskip

%---- ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ ЛЕММЫ -----------------------------------------
      ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ ЛЕММЫ:

\begin{theorem}{Лемма 2.} 
Для любого простого числа $p$ при $\alpha>\gamma$ имеем
$S(p^{\alpha})=0$.
\end{theorem}

{\bf Доказательство.} Представим любой вычет $x$ по модулю
$p^\alpha$ следующим образом:
$$
    x\equiv y+p^{\alpha-\tau-1}\pmod{p^\alpha}, 1\leq y\leq
    p^{\alpha-\tau-1}, 0\leq z<p^{\tau+1}.
\eqno(2)
$$
Лемма доказана.

Перейдем к выводу основного результата этой статьи.
\medskip

%---- ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ---------------------------------------
      ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ ТЕОРЕМЫ:

\begin{theorem}{Теорема.}
 При $(a,Q)=1$ для суммы $ S(Q)$ справедлива оценка
$$
    |S(Q)|\leq n^{\omega(Q)}Q^{1/2},
\eqno(3)
$$
где $\omega(Q)$~---~количество различных простых делителей числа
$Q.$ 
\end{theorem}

{\bf Доказательство.} 
Пусть $(n,p)=1.$ Тогда $\gamma=\tau+1=1.$
Следовательно, по лемме 2 при  $\alpha\geq 2$ имеем
$S(p^\alpha)=0.$ При $\alpha=1$ из оценки А.\,Вейля получаем
$|S(p)|\leq (n-1)\sqrt p.$

Таким образом, находим
$$
|S(p^\alpha)|=\left\{\begin{array}{ll}
        0,&\hbox{~если~} \alpha>\gamma;\\
        p^\alpha,&\hbox{~если~} \alpha\leq\gamma;\\
        (n-1)\sqrt p,&\hbox{~если~} \alpha=1.
    \end{array}\right.
$$

Теорема доказана.
\newpage

%---- ПРИМЕРЫ ОФОРМЛЕНИЯ РИСУНКОВ---------------------------------------
      ПРИМЕРЫ ОФОРМЛЕНИЯ РИСУНКОВ:

\makepicture{-85}{fig1.eps}{Функциональная схема тестирующего стенда}
В задаче максиминного тестирования~[2] можно выделить три этапа:

\picpar{10}
1-й этап~--- предварительный. На этом этапе осуществляется
поиск нижней (наилучшей) оценки показателя качества управления и
оптимальной стратегии поведения внешних возмущений с помощью
компьютерного решения максиминной задачи;

\picpar{10}
1-й этап~--- предварительный. На этом этапе осуществляется
поиск нижней (наилучшей) оценки показателя качества управления и
оптимальной стратегии поведения внешних возмущений с помощью
компьютерного решения максиминной задачи;

\picpar{10}
1-й этап~--- предварительный. На этом этапе осуществляется
поиск нижней (наилучшей) оценки показателя качества управления и
оптимальной стратегии поведения внешних возмущений с помощью
компьютерного решения максиминной задачи;

\picpar{10}
1-й этап~--- предварительный. На этом этапе осуществляется
поиск нижней (наилучшей) оценки показателя качества управления и
оптимальной стратегии поведения внешних возмущений с помощью
компьютерного решения максиминной задачи;

\picpar{2}
1-й этап~--- предварительный. На этом этапе осуществляется
поиск нижней (наилучшей) оценки показателя качества управления и
оптимальной стратегии поведения внешних возмущений с помощью
компьютерного решения максиминной задачи.


\def\kscale{0.5}
\makepicone{fig1.eps}{Рис.\ 1. Функциональная схема тестирующего стенда}

\makepictwo{fig1.eps}{Рис.\ 1. Функциональная схема тестирующего стенда 1}{fig2.eps}{Рис.\ 2. Функциональная схема тестирующего стенда 2}




%------------------------------------------------------------------------
%---- ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ ---------------------------------------
      ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ:
\spisoklit
{\small\wrefdef{7}


\wref{1}
{Виноградов И.М.}
Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

\wref{2}
{Хуа Ло-кен.}
Аддитивная теория простых чисел // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1947. {\bf22}.

\wref{3}
{Hua Loo-keng.}
On the number of solutions of Tarry's problem
// Acta Sci. Sinica.  1952. {\bf1}. 1--76.

\wref{4}
{Чубариков В.Н.} 
Об асимптотических формулах для интеграла И.\,М.~Виноградова
// Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1981. {\bf157}. 214--232.

\wref{5}
{Постников А.Г.}
О сумме характеров по модулю степени простого
// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. {\bf19}, \No~1. 11--16.

\wref{6}
{Исмоилов Д.И.}
Оценки полных сумм характеров от многочленов
// Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1991. {\bf200}.  189--203.

\wref{7}
{Карацуба А.А.}
Основы аналитической теории чисел. 2-е изд., перераб. и доп.
М.: Наука, 1983.


}
\lend%c
%\newpage



\end{document}

