Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


УДК 517.51

Равенство Парсеваля для рядов Фурье-Стилтьеса по системе Хаара / Алферова Е.Д. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003. N.6 C. 47-50.

Доказано, что если $f(x)$ и $G(x)$ -- комплекснозначные функции на модифицированном отрезке $[0,1]^{*}$, $f(x)$ интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа на $[0,1]^{*}$ и в смысле Римана-Стилтьеса по функции $\overline{G(x)}$ на $[0,1]^{*}$, то выполняется равенство Парсеваля

\begin{displaymath} (R-S)\int_{[0,1]^{*}}f(x) d\overline{G(x)}= \sum_{k=1}^{+\infty}\widehat{f}(k)\overline{\widehat{dG}(k)}, \end{displaymath}

где $\displaystyle\widehat{f}(k)=(f, \chi_k)=(D)\int_{[0,1]^{*}} f(x)\chi_k(x) dx$ и $\displaystyle\widehat{dG}(k) = ({R-S})\int_{[0,1]^{*}}\chi_k(x) dG(x)$ -- соответственно коэффициенты Фурье-Данжуа функции $f(x)$ и коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции $G(x)$ по системе Хаара, интеграл в равенстве является интегралом Римана-Стилтьеса, ряд в правой части равенства сходится. Для справедливости равенства Парсеваля на обычном отрезке $[0,1]$ следует добавить требование существования коэффициентов Фурье-Стилтьеса функции $G(x)$.

Библиогр. 5.

К оглавлению номера  Go!