Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


УДК 511

Об оценках полных рациональных тригонометрических сумм и сумм характеров Дирихле / Ходжаев Н.М., Чубариков В.Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2002. N.5 C. 17-23.

Пусть $F_n(Q)$ -- множество многочленов $f(x)=a_nx^n+\dots +a_1x+a_0\in{\bf Z}[x]$ с условием $(a_n,\dots ,a_1,Q)=1$ и

\begin{displaymath} S(f,Q)=\sum_{x=1}^Q\exp{\left(2\pi i\frac{f(x)}Q\right)}. \end{displaymath}

В работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 1   Пусть $n>2,\;\alpha \ge 1$ и $f\in F_n(p)$. Тогда имеем

\begin{displaymath} \max\limits_{f\in F_n(p)}\vert S(f,p^{\alpha})\vert= \le... ...}}{n}\right)\right)p^{\frac 1{p-1}} p^{\alpha(1-\frac 1n)}, \end{displaymath}

где постоянная в знаке $O$ абсолютная. Более точно, справедливо неравенство

\begin{displaymath} \vert S(f, p^{\alpha})\vert\le n^{\frac 2n}p^{\frac{10}n}p^{\frac 1{p-1}} p^{\alpha(1-\frac 1n)}. \end{displaymath}

Теорема 2   Существует положительная постоянная $c$, такая, что при условии справедливости некоторых гипотез для $f\in F_n(Q)$ имеет место оценка

\begin{displaymath} \vert S(f,Q)\vert\le n^{c}Q^{1-1/n}. \end{displaymath}

Более того, можно взять $c=1$.

Теорема 3   Пусть $n>2,\;\alpha \ge 1$ и $f\in F_n(p)$. Тогда имеем

\begin{displaymath} \max\limits_{f\in F_n(p)}\vert S_{\chi}(f,p^{\alpha})\vert... ...}}{n}\right)\right)p^{\frac 1{p-1}} p^{\alpha(1-\frac 1n)}, \end{displaymath}

где

\begin{displaymath} S_{\chi}(f,p^{\alpha})=\sum_{x=1}^{p^{\alpha}} \exp{\left(2\pi i\frac{f(x)}Q\right)}, \end{displaymath}

$\chi$ -- примитивный характер Дирихле по модулю $p^{\alpha}$; постоянная в знаке $O$ абсолютная. Более точно, справедливо неравенство

\begin{displaymath} \vert S_{\chi}(f, p^{\alpha})\vert\le n^{\frac 2n}p^{\frac{10}n}p^{\frac 1{p-1}} p^{\alpha(1-\frac 1n)}. \end{displaymath}

Библиогр. 16.

К оглавлению номера  Go!