УДК 511
Об оценках полных рациональных тригонометрических
сумм и сумм характеров Дирихле / Ходжаев Н.М., Чубариков В.Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1,
Математика. Механика.
C. 17-23.
Пусть -- множество многочленов
с условием
и
![\begin{displaymath}
S(f,Q)=\sum_{x=1}^Q\exp{\left(2\pi i\frac{f(x)}Q\right)}.
\end{displaymath}](img6.png)
В работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 1
Пусть
и
. Тогда имеем
где постоянная в знаке
абсолютная. Более точно, справедливо неравенство
![$n>2,\;\alpha \ge 1$](img7.png)
![$f\in F_n(p)$](img8.png)
![\begin{displaymath}
\max\limits_{f\in F_n(p)}\vert S(f,p^{\alpha})\vert=
\le...
...}}{n}\right)\right)p^{\frac 1{p-1}}
p^{\alpha(1-\frac 1n)},
\end{displaymath}](img9.png)
где постоянная в знаке
![$O$](img10.png)
![\begin{displaymath}
\vert S(f, p^{\alpha})\vert\le n^{\frac 2n}p^{\frac{10}n}p^{\frac 1{p-1}}
p^{\alpha(1-\frac 1n)}.
\end{displaymath}](img11.png)
Теорема 2
Существует положительная постоянная
, такая, что
при условии справедливости некоторых гипотез для
имеет место оценка
Более того, можно взять
.
![$c$](img12.png)
![$f\in F_n(Q)$](img13.png)
![\begin{displaymath}
\vert S(f,Q)\vert\le n^{c}Q^{1-1/n}.
\end{displaymath}](img14.png)
Более того, можно взять
![$c=1$](img15.png)
Теорема 3
Пусть
и
. Тогда имеем
где
-- примитивный характер Дирихле по модулю
;
постоянная в знаке
абсолютная. Более точно, справедливо неравенство
![$n>2,\;\alpha \ge 1$](img7.png)
![$f\in F_n(p)$](img8.png)
![\begin{displaymath}
\max\limits_{f\in F_n(p)}\vert S_{\chi}(f,p^{\alpha})\vert...
...}}{n}\right)\right)p^{\frac 1{p-1}}
p^{\alpha(1-\frac 1n)},
\end{displaymath}](img16.png)
где
![\begin{displaymath}
S_{\chi}(f,p^{\alpha})=\sum_{x=1}^{p^{\alpha}}
\exp{\left(2\pi i\frac{f(x)}Q\right)},
\end{displaymath}](img17.png)
![$\chi$](img18.png)
![$p^{\alpha}$](img19.png)
![$O$](img10.png)
![\begin{displaymath}
\vert S_{\chi}(f, p^{\alpha})\vert\le n^{\frac 2n}p^{\frac{10}n}p^{\frac 1{p-1}}
p^{\alpha(1-\frac 1n)}.
\end{displaymath}](img20.png)
Библиогр. 16.