Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С. Александрова (заседания 1998/99 учебного года) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2002. N.1 C. 62-69.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания осеннего семестра 1998/99 учебного года

24 сентября

1. А. Белла (Италия), В.И. Малыхин. Большие и малые подмножества групп. Подмножество $A$ группы $G$ называется большим, если найдется конечное подмножество $H$, такое, что $AH=G$ и $HA=G$. Это понятие имеет свое очевидное происхождение из теории вполне ограниченных групп. Далее, подмножество $B$ группы $G$ называется малым, если для любого конечного подмножества $H$ дополнение множества $HBH$ является большим. Получены результаты о свойствах этих подмножеств в абстрактных группах и группах топологических. Остались интересные нерешенные вопросы, например, всякая ли топологическая группа имеет малую тесноту?

2. Е.Е. Скурихин (Владивосток). Общетопологические методы в теории пучков. Предлагаются конструкции, позволяющие применять методы общей топологии к предпучкам множеств на произвольной категории. Приводятся некоторые общетопологические понятия и построения, которые в контексте упорядоченных множеств, снабженных топологией Гротендика, играют важную роль в абстрактной теории пучков.

1 октября

1. С.А. Богатый. Цветная теорема Тверберг. Дан вариант цветной теоремы Тверберг с контролируемым появлением цветов. Полученный результат усиливает теорему Живаевича-Вречицы уже в случае запрещения повтора цветов (в случае когда число цветов не является простым, количество точек каждого цвета уменьшается на 1 по сравнению с оригинальной теоремой Живаевича-Вречицы).

2. А.В. Одиноков. Бесконечномерный компакт, разложимый в обратную последовательность индуктивно одномерных пространств. Для каждого $p=2, 3,\dots, \omega, \infty$ построен совершенно нормальный наследственно сепарабельный компакт $Y_p$ с ${\rm tr}{\rm Ind}Y_p=p$, являющийся пределом обратной последовательности периферически счетных змеевидных компактов.

8 октября

С.А. Богатый, В.В. Федорчук, Я. ван Милл (Нидерланды). Разложение Урысона и вложения (малократные отображения) компактов. Для $\sigma$-компактного подмножества $A\subset X$ изучается проблема существования отображения $f: X\to {\bf R}^m$, взаимно однозначного на некотором $G_\delta$-подмножестве $B\supset A$. Построен такой пример $\sigma$-компактного нульмерного подмножества $A$ одномерного компакта $X$, что для всякого непрерывного отображения $f: X\to {\bf R}$ и всякого объемлющего $G_\delta$-множества $B\supset A$ для некоторой точки $t\in{\bf R}$ множество $f^{-1}\cup B$ бесконечно.

15 октября

А.В. Архангельский. Нормальность и всюду плотные подпространства. Показано, что пространство $C_p(\omega_1+1)$ не содержит никакого всюду плотного нормального подпространства. Подмножество $A$ пространства $X$ называется сконцентрированным на подпространстве $Y\subset X$, если $A\cap Y$ всюду плотно в $A$. Скажем, что $X$ нормально на $Y\subset X$, если любые непересекающиеся замкнутые в $X$ множества, сконцентрированные на $Y$, могут быть отделены непересекающимися окрестностями в $X$. В $C_p(\omega_1+1)$ нет никакого всюду плотного подпространства, на котором $C_p(\omega_1+1)$ нормально. Показано также, что в ${\bf R}^{\fam\gothicfambf c}$ (где ${\fam\gothicfambf c}=2^\omega$) существует счетное всюду плотное подпространство $Y$, на котором ${\bf R}^{\fam\gothicfambf c}$ не нормально.

22 октября

1. В.В. Федорчук, А.Ч. Чигогидзе (Канада). О реализации размерности многообразиями. Доказано, что если $n\geq 4, L$ -- симплициальный комплекс типа $\vert L\vert\geq \vert S^n\vert$ и $B$ -- метризуемый компакт экстензорной размерности ${\rm ed}(B)=\vert L\vert$, то в предположении принципа Йенсена существует гладкое, счетно компактное, совершенно нормальное, сепарабельное $n$-многообразие $M^{n, \vert L\vert}$ размерности ${\rm ed} (M^{n, \vert L\vert})=\vert L\vert$.

2. Д.В. Малыхин. Об индуктивной размерности произведения бикомпактов. Построены два примера, касающиеся индуктивной размерности произведений: 1) такой линейно упорядоченный континуум и такой двумерный во всех смыслах бикомпакт, что их произведение индуктивно четырехмерно; 2) такое индуктивно двумерное регулярное пространство, что его произведение на отрезок действительной прямой индуктивно четырехмерно.

29 октября

Е.А. Резниченко, О.В. Сипачева. Локально выпуклые пространства Фреше-Урысона. Введены новые классы пространств, обладающих свойством Фреше-Урысона относительно конечных подмножеств ($FU_f$-пространства), сходящихся последовательностей ($FU_s$-пространства) и метризуемых компактных подпространств ($FU_c$-пространства). Доказано, что всякое $FU_f (FU_s-)$ пространство вкладывается в (полное) ЛВП Фреше-Урысона. Если пространство $C_\lambda(X)$ непрерывных функций на $X$ с топологией равномерной сходимости на элементах (произвольного) семейства $\lambda$ ограниченных подмножеств $X$ обладает свойством Фреше-Урысона, то оно является $FU_f$-пространством, а если оно вдобавок секвенциально полно, то $FU_c$-пространством.

5 ноября

1. А.В. Архангельский. Вокруг теоремы Комфорта-Росса о псевдокомпактных группах. Обсуждается роль понятия московского пространства в альтернативном доказательстве известной теоремы Комфорта и Росса о псевдокомпактных топологических группах. Пространство называется московским, если замыкание каждого открытого множества является объединением $G_\delta$-множеств. Показано, что каждая топологическая группа счетной тесноты и каждая топологическая группа со счетным числом Суслина являются московскими пространствами. Почти метризуемые группы также московские. Важная роль понятия московского пространства объясняется, с одной стороны, широтой класса (к нему принадлежат все экстремально несвязные пространства и все пространства счетного псевдохарактера), а с другой -- исключительно удачным их взаимодействием с понятием $C$-вложенности.

2. В.В. Федорчук, А.Ч. Чигогидзе (Канада). О размерностных свойствах многообразий. В предположении принципа Йенсена строятся $4$-многообразия $M_1$ и $M_2$ с $\dim M_1\times M_2 <\dim M_1 +\dim M_2$. Показано, что экстензорные размерности открытых подмножеств $4$-многообразий могут принимать достаточно произвольные счетные множества значений $\vert L\vert\geq \vert S^n\vert$.

12 ноября

1. Е.А. Резниченко. Фрагментируемые пространства и аппроксимация топологии метрикой. Получено несколько достаточных условий того, что метрика $d$ на компакте $X$ фрагментирует топологию $X$. Например, если $X$ -- монолитный компакт и метрика $d$ полунепрерывна сверху, то $d$ фрагментирует топологию $X$ в том и только в том случае, если для любого сепарабельного подмножества $Y\subset X$ пространство $(Y, d)$ сепарабельно.

2. А.Н. Якивчик. Субнормальность и подпространства произведений. $T_1$-пространство называется субнормальным, если любые два его замкнутых дизъюнктных подмножества содержатся в некоторых дизъюнктных $G_\delta$-множествах. Доказано утверждение о наследственной субнормальности произведения двух пространств, аналогичное классической теореме Катетова. Показано, что наследственная субнормальность всех конечных степеней бикомпакта не влечет его метризуемости. Найдены некоторые достаточные условия для наследственной субнормальности произведений.

19 ноября

1. К.Л. Козлов, Б.А. Пасынков, В.А. Чатырко (Швеция). Об одном методе построения бикомпактов с несовпадающими размерностями $\dim$ и ${\rm ind}$. Изучаются общие закономерности в построении бикомпактов $X$ с $\dim X<{\rm ind}X$. Любому регулярному $T_1$-пространству $X$ ставится в соответствие класс $T(X)$ регулярных $T_1$-пространств. Элементы этого класса $T(X)$ называются охвощениями $X$. Приведены два конкретных типа охвощений. Для любого бикомпакта $X$ с $\dim X={\rm ind}X>0$ приводимые построения позволяют получить бикомпакт $Y$ с $\dim Y=\dim X$ и ${\rm ind}Y>\dim X$. Охвощения позволяют получить, например, бикомпакт с совпадающими размеростями $\dim$ и ${\rm ind}$, у квадрата которого эти размерности не совпадают.

2. Ю.В. Садовничий. О некоторых категорных свойствах функторов $U_\tau$ и $U_R$. Основным объектом исследования является единичный шар $U_\tau(X)$ неотрицательных $\tau$-аддитивных и единичный шар $U_R(X)$ неотрицательных радоновских мер на тихоновском пространстве $X$. Конструкции $U_\tau$ и $U_R$ функториальны. Доказывается, в частности, что функторы $U_\tau$ и $U_R$ обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в единичный отрезок $[0, 1]$.

26 ноября

1. С.А. Агеев (Белоруссия). Характеризация пространств Небелинга. Дано доказательство известной гипотезы о характеризации универсального $n$-мерного пространства Небелинга. Доказательство опирается на теорему триангуляции многообразий, моделированных пространством Небелинга.

2. В.И. Пономарев. Вокруг теорем П.С. Александрова, Ф. Хаусдорфа, В. Гуревича.
Теорема 1. $A$-множество $E$ в полном по Чеху пространстве $X$ либо $\sigma$-разрежено, либо содержит замкнутое в $E$ множество $\Phi$, допускающее совершенное неприводимое отображение на канторово совершенное множество.
Теорема 2. Если $A$-множество $E$ в полном по Чеху пространстве $X$ не является $\sigma\psi$-разреженным, то существует замкнутое в $E$ множество $\Phi$, допускающее совершенное неприводимое отображение на пространство $P$ иррациональных чисел.

Пространство $X$ называется $\psi$-разреженным, если в каждом замкнутом множестве $F$ имеются точка $x_0\in F$ и окрестность $U_{x_0}$ относительно $F$, такая, что ее замыкание $[U_{x_0}]$ псевдокомпактно.

3 декабря

1. Д.П. Батуров (Орел). О всюду плотных нормальных подпространствах произведений.
Теорема. Если $M$ -- сепарабельное неодноточечное метрическое пространство, то существует подмножество $Z$ пространства $M^{2^{\fam\gothicfambf c}}$, такое, что а) $Z$ плотно в $M^{2^{\fam\gothicfambf c}}$; б) $Z=\cup Z_m$, где $Z_1\subset Z_2\subset\dots$, $Z_i (i\in{\bf N})$ -- дискретное замкнутое подмножество $Z$ и $\vert Z_1\vert={\fam\gothicfambf c}$; в) $Z$ нормально.

2. В.В. Федорчук, Е.В. Щепин, М. Левин (Израиль). О размерности Брауэра. Доказано, что ${\rm Dg}X=\dim X$ для всякого метризуемого компакта $X$, где ${\rm Dg}$ -- индуктивный размерностный инвариант, введенный еще в 1913 г. Что касается малого размерностного инварианта ${\rm dg}$, который можно ввести по аналогии с ${\rm Dg}$, то ${\rm dg}X\leq 2$ для всякого метризуемого компакта $X$.

10 декабря

1. А.В. Архангельский. Об уплотнениях $C_p$-пространств. Уплотнением называется непрерывное взаимно однозначное отображение ``на''.
Теорема. Для каждого $\sigma$-компактного метризуемого пространства $X$ пространство $C_p(X)$ уплотняется на метризуемый компакт.

Аналогичное утверждение справедливо и для пространства $C^b_p(X)$ всех ограниченных непрерывных вещественных функций на $X$ в топологии поточечной сходимости. Ставится вопрос: верно ли, что $C_p(X)$ уплотняется на компакт (или хотя бы на $\sigma$-компактное пространство) для каждого сепарабельного метризуемого пространства $X$?

2. А.Б. Скопенков. Клеточноподобные резольвенты полиэдров до специальных. Показана связь между клеточноподобными резольвентами и специальными полиэдрами. Доказано, что любой 2-полиэдр допускает клеточноподобную резольвенту до ложной поверхности, а при некоторых дополнительных условиях -- до специального 2-полиэдра. Следствием является редукция известной проблемы Уайтхеда (о наследственности асферичности 2-полиэдров) к случаю ложных поверхностей.

17 декабря

1. С.А. Перегудов. О булевых алгебрах многозначных отображений. С помощью булевых алгебр многозначных отображений изучаются отношения двойственности между почти дизъюнктными и слабо равномерными системами множеств.

2. М.В. Ткаченко (Мексика), В.В. Ткачук (Мексика), И.В. Ященко, Р. Вильсон (Мексика). О нормальности на плотных подпространствах.

Заседания весеннего семестра 1998/99 учебного года

18 февраля

1. А.П. Комбаров. Линделеф-нормальность. Пространство называется линделеф-нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых линделефово, содержатся в непересекающихся окрестностях. Получено следующее обобщение теоремы В.В. Федорчука. Если для бикомпакта $X$ и нормального функтора $\cal F$ степени $\geq 3$ бикомпакт ${\cal F} (X)$ наследственно линделеф-нормален, то бикомпакт $X$ метризуем.

2. С.А. Шкарин. Об универсальных топологических группах. Топологическая группа $G$ называется универсальной в классе $\cal K$ топологических групп, если $G\in \cal K$ и для всякой группы $H\in \cal K$ существует подгруппа $K$ группы $G$, изоморфная $H$ как топологическая группа.
Теорема 1. Существует группа, универсальная в классе абелевых топологических групп со счетной базой.
Теорема 2. В предположении обобщенной континуум-гипотезы для каждого бесконечного кардинала $\tau$ существует группа, универсальная в классе абелевых топологических групп веса не более $\tau$.

25 февраля

1. С.А. Богатый. Реализация конфигураций и эллипсоид Левнера. Доказано, что если для эллипсоида $E$ и шара $B\subset {\bf R}^m$

\begin{displaymath}\frac{m_{m-1}(\delta B\cup E)}{m_{m-1}(\delta B)}\geq\frac m{m+1},\end{displaymath}

то $m_m(E)\geq m_m(B)$.

2. П.В. Семенов. Функции Лебега открытых покрытий. Получено следующее обобщение леммы о числе Лебега открытого покрытия компакта.
Теорема. Пусть $\{U_x\}$ -- открытое покрытие метрического пространства $X$ ; $U_x$ -- окрестность точки $x \in X$. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ найдется полунепрерывная снизу числовая функция $l:X \to (0,\varepsilon)$, обладающая следующим свойством: для любой точки $x \in X$ найдется точка $z \in X$, для которой выполняется двойное включение $z \in D(x,l(x)) \subset U_z$.

Замена функции на постоянное число ( с одновременным выполнением двойного включения ) невозможна даже для компактов. Непрерывной числовой функции $l$ с таким же условием также может не существовать.

4 марта

А.Ф. Филиппов. Об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Излагаются новые теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для систем, близких к однородным любой степени. Теоремы сформулированы в терминах разработанного В.В. Филипповым аксиоматического метода, использующего лишь топологические свойства множества решений. Эти теоремы обобщают результаты Н.Н. Красовского на случаи дифференциальных уравнений без условия Липшица и дифференциальных включений.

11 марта

1. Н.Б. Бродский. Сечения двумерных расслоений Серра. Гомотопически $n$-регулярным называется такое отображение метрических компактов $f: X\to Y$, что для всякого $\epsilon > 0$ существует $\delta >0$, при котором любое отображение $g: S^k\to f^{-1}(y)$ сферы размерности $k \leq n$ в слой над произвольной точкой $y\in Y$, имеющее образ диаметра меньше $\delta$, стягиваемо в этом слое по множеству диаметра меньше $\epsilon$. Следующая теорема утверждает существование локальных сечений в расслоениях Серра со слоем, являющимся двумерным многообразием с бесконечномерной $ANR$-базой.
Теорема. Пусть $f: X\to Y$ -- гомотопически $1$-регулярное отображение метрических компактов, все слои $f^{-1}$ которого гомеоморфны некоторому фиксированному компактному двумерному многообразию. Если $Y$ является абсолютным окрестностным ретрактом, то для каждой точки $y\in Y$ существуют окрестность $O_y$ и непрерывное отображение $s: O_y\to X$, такое, что $f\circ s={\rm id}_{O_y}$.

2. В.А. Чатырко (Швеция). О малой трансфинитной размерности компактов Смирнова. Изучается вопрос точности оценок трансфинитной индуктивной размерности ${\rm tr}{\rm ind}$ и ${\rm tr}{\rm Ind}$ в конечной теореме суммы. С помощью полученной техники удается повторить, и даже усилить, некоторые результаты для компактов с несовпадающими размерностями ${\rm tr}{\rm ind}$ и ${\rm tr}{\rm Ind}$. В частности, существенно улучшены оценки ${\rm tr}{\rm ind}$ у компактов Смирнова, ранее полученные Люксембургом.

18 марта

1. А.Б. Скопенков. Критерий врезанного квадрата для квазивложимости и вложимости. В докладе сообщается о классических и современных условиях, при которых из квазивложимости следует вложимость. Основной результат: если $m-n\geq 3, N^n-(3n-2m+2)$ -- связное кусочно-линейное многообразие, квазивложимое в ${\bf R}^m$, то $N$ вложимо в ${\bf R}^m$.

2. М.В. Смуров. Функторы и мягкие отображения. Исследована локальная $1$-мягкость отображений, являющихся результатом применения к отображениям компактов ковариантных функторов. Следствием полученных результатов является
Теорема. Если $X$ и $Y$ -- неметризуемые однородные по характеру AE$(1)$-компакты, то для финитных функторов $F$ и $G$ конечной степени пространства $F(X)$ и $F(Y)$ будут гомеоморфны, только если гомеоморфны $X$ и $Y$ .

25 марта

1. О.В. Сипачева. $\tau$-Локально инвариантные группы. Определение класса $\tau$-локально инвариантных групп представляет собой незначительную модификацию введенного А.В. Архангельским класса $\tau$-уравновешенных групп. Доказано, что группа $\tau$-локально инвариантна тогда и только тогда, когда она вкладывается как подгруппа в прямое произведение групп, характер которых меньше $\tau$. Описаны пространства, для которых их свободные топологические группы $\tau$-локально инвариантны.

2. П.В. Семенов. Аппроксимация полунепрерывных сверху отображений непрерывными.
Теорема. Пусть $F:X \to Y$ -- полунепрерывное сверху $\alpha$-паравыпуклозначное отображение метрического пространства в нормированное пространство. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ найдется непрерывное однозначное отображение $f: X\to Y$, график которого лежит в $\varepsilon \times \varepsilon$-окрестности графика отображения $F$.

Доказательство существенно использует полученное ранее обобщение леммы о числе Лебега открытых покрытий.

1 апреля

1. А.П. Кармазин (Сургут). Основные теоремы теории предконцов пространственных областей. В данной работе приведены две конструкции, построенные на основе множества предконцов областей в евклидовом пространстве ${\bf R}^n$. Первая из них, основанная на факторизации этого множества, позволяет компактифицировать любую область в ${\bf R}^n$, гомеоморфную шару. С помощью второй конструкции мы получаем пополнение области, которое является еще и хаусдорфовым. В виде следствия этих построений получены аналоги теоремы Каратеодори о граничном поведении квазиизометрических отображений.

2. Х.П. Дельгадильо (Мексика). Замкнутые вложения функциональных пространств: вокруг теоремы Гротендика. Доказано, что если пространство $X$ (сильно) функционально порождено семейством $\cal M$ своих подпространств, то $C_p(X)$ замкнуто вкладывается в $\prod_{M\in\cal M} C_p(M\vert X) (\prod_{M\in\cal M} C_p(M))$. С помощью этих вложений получен ряд теорем типа теоремы Гротендика. В частности, доказано, что если $\cal M$ сильно функционально порождает $X$ и все $C_p(M)$ для $M\in\cal M$ обладают свойством: для всякого $Y\subset C_p(M)$, такого, что $Y$ относительно счетно компактно в $C_p(M)$ ($Y$ функционально ограничено в $C_p(M)$, $Y$ псевдокомпактно, замыкание $Y$ в $C_p(M)$ компактно), то $C_p(X)$ обладает тем же свойством. Рассмотрены классы $\cal K(\cal P)$, где $\cal P$ -- непрерывно инвариантное свойство расположенности (в смысле Архангельского), и пространства $SC_p(X\times Y)$ раздельно непрерывных функций на $X\times Y$ в топологии поточечной сходимости.

8 апреля

1. С.А. Перегудов. О пространствах с $n$-счетной базой. База $\cal B$ топологического пространства $X$ называется $n$-счетной, если каждое $n$-элементное множество $A\subset X$ содержится не более чем в счетном семействе элементов $B\in\cal B$. Доказывается ряд метризационных теорем для пространств, имеющих $n$-счетную базу.

2. С.А. Шкарин. О кружевных локально выпуклых пространствах.
Теорема 1. Локально выпуклый строгий индуктивный предел последовательности метризуемых локально выпуклых пространств (ЛВП) является кружевным ЛВП.
Теорема 2. Если в сопряженном (с сильной топологией) к метризуемому ЛВП пространстве $X$ все ограниченные подмножества метризуемы, то $X$ -- кружевное ЛВП.
Теорема 3. Локально выпуклая прямая сумма любого множества кружевных ЛВП -- кружевное ЛВП.
Теорема 4. Всякое хаусдорфово ЛВП является факторпространством полного кружевного ЛВП по замкнутому линейному подпространству.

15 апреля

1. Н.Г. Мощевитин. О $\tau$-свойстве континуумов.

2. Б.А. Пасынков. О бикомпактах с несовпадающими размерностями. При помощи веерных произведений относительно открытых отображений с одним не нульмерным слоем строятся обладающие свойством Суслина и имеющие несовпадающие размерности $\dim$ и ${\rm ind}$: 1) топологически однородный бикомпакт, 2) бикомпакт Дугунджи.

22 апреля

1. С.А. Богатый. Гипотеза Борсука неверна в размерности $\geq 780$. Доказан как сформулированный в заголовке, так и следующий результат. Для всякого угла $\varphi<\pi$ существует такое положительное число $\epsilon(\varphi)>0$, что во всяком подмножестве $A\subset S^{n-1}$ меры $\geq {(1+\epsilon(\varphi))}^{-n}$ имеется пара точек, радиусы векторов которых образуют угол $\varphi$.

2. В.В. Филиппов. Зацепление циклов и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана теорема, следующая идеологии зацепления цикла и моделирующая ситуации, встречающиеся в теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Манипулируя упоминающимися в ее формулировке объектами как меняющимися параметрами, получаем в зависимости от того, что мы подставляем, теорему существования решения для той или иной краевой задачи.

29 апреля

1. С.А. Дроздовский. Свойства топологических пространств типа связности и метризуемости и селекции многозначных отображений (предзащита диссертации).

2. К.Л. Козлов, В.А. Чатырко (Швеция). О малой (трансфинитной) индуктивной размерности произведений. Получены новые оценки малой (трансфинитной) индуктивной размерности произведения пространств, улучшающие соответствующие оценки Тулмена.

13 мая

1. С.А. Богатый. Компактная однородность универсального метрического пространства Урысона. В качестве ответа на вопрос П.С. Урысона доказывается, что в универсальном однородном метрическом пространстве $U$ существуют такие два счетных конгруэнтных подмножества $A$ и $B$, что для всякого гомеоморфизма на $F: U\to U$ имеем $F(A)\setminus B\ne \emptyset $. Для всякого компактного подмножества $A\subset U$ и всякой изометрии $f: A\hookrightarrow U$ существует такая изометрия на $F: U\to U$, что $F\vert _{A}=f$.

2. С.А. Богатый. Универсальная однородная рациональная ультраметрика на пространстве иррациональных чисел. Доказано, что для всякого счетного множества неотрицательных действительных чисел $S$, содержащего $0$ в качестве неизолированной точки, на пространстве иррациональных чисел существует универсальная однородная полная ультраметрика, значения которой принадлежат $S$, причем все такие метрики изометричны. В указанной ультраметрике замкнутые шары изометричны ограничивающим их сферам.

Секция общей топологии АЛЕКСАНДРОВСКИХ ЧТЕНИЙ 1999 года

26 мая

1. Н.Б. Бродский. Сечения отображений со слоем, гомеоморфным двумерному многообразию.

2. Е.А. Горин. Гомеоморфные меры на компактах. Рассматриваются пары $\{X,\mu\}$, где $X$ -- метрический компакт, а $\mu$ -- регулярная вероятностная борелевская мера на $X$. Пары $\{X,\mu\}$, $\{Y,\nu\}$ (и отвечающие им меры) гомеоморфны, если существует такой гомеоморфизм $\varphi : X \to Y$, что $\nu(E) = \mu(\varphi^{-1}(E))$ для всех борелевских подмножеств $E \subset Y$. Дается исчерпывающий ответ в терминах индексов открытых нормальных подгрупп на вопрос о гомеоморфности нормированных мер Хаара на нульмерных группах. Показано, что если связные компактные абелевы группы гомеоморфны, то они топологически эквивалентны.

3. С.Д. Илиадис (Греция). Универсальность в классах вполне регулярных и компактных пространств. В классе вполне регулярных пространств вводится новая размерность ${\rm n-Ind}$. Доказывается, что в классе всех пространств $X$, для которых ${\rm n-Ind}X \le n$, существует универсальное пространство. Для бикомпактных пространств размерности ${\rm Ind}$ и ${\rm n-Ind}$ совпадают. Это приводит к новому доказательству существования универсального $n$-мерного бикомпакта.

4. А.В. Карасев. Об индуктивной размерности замкнутых подмножеств некоторых неметризуемых многообразий. Рассматриваются замкнутые подмножества пространств вида $K \times L$, где $K$ -- метризуемый компакт (в частности, компактное многообразие), а $L$ -- длинная прямая П.С. Александрова. Доказывается
Теорема (MA $+ \neg$ CH). Для замкнутого подмножества $Y \subseteq K \times L$ выполняется тождество ${\rm ind}Y = {\rm Ind}Y$.

5. Я.ван Милл (Нидерланды), В.В. Федорчук. О размерности Брауэра для польских пространств. Для всякого $n \ge 2$ строится локально связное польское пространство $X_n$, для которого ${\rm Dg}X = 1 < n = \dim X$. Здесь ${\rm Dg}X$ -- индуктивная размерность, определенная Брауэром в 1913г. (Dimensiongrad).

6. Б.А. Пасынков. Метод веерных произведений построения бикомпактов с несовпадающими размерностями $\dim$ и ${\rm ind}$.

7. Ю.В. Садовничий, В.В. Федорчук. О функторах борелевских знакопеременных мер. Рассматриваются функтор $U^s_\tau$ единичного шара знакопеременных $\tau$-аддитивных мер и его подфункторы радоновых мер и мер с компактными носителями. Эти функторы удовлетворяют некоторым свойствам нормальности, но не являются мономорфными.

8. П.В. Семенов. От теории селекций к теории аппроксимаций. Доказывается аппроксимационная теорема для полунепрерывного сверху отображения $F$ произвольного (не обязательно ${\rm ANR}$) метрического пространства $X$ при существовании подходящей оценки степени невыпуклости значений $F(x), x\in X$. Доказательство использует обобщение леммы о Лебеговом числе покрытия в некомпактном случае.

27 мая

1. С.А. Богатый. К вопросу Урысона о счетной метрической однородности универсального метрического пространства. П.С. Урысон показал, что существует полное сепарабельное метрическое пространство $U$, обладающее свойствами: $(1)$ всякое сепарабельное метрическое пространство может быть изометрично отображено в $U$; $(2)$ всякая изометрия конечного подмножества пространства $U$ может быть продолжена до изометрии всего пространства $U$. П.С. Урысон показал также, что свойства $(1)$ и $(2)$ определяют пространство $U$ с точностью до изометрии однозначно, и поставил вопрос: ``Обладает ли пространство $U$ более сильным свойством однородности?''
Теорема. В пространстве $U$ существуют такие два счетных, дискретных, равносторонних, конгруэнтных подмножества $A$ и $B$, что для всякой изометрии ``на'' $F: U\to U$ имеет место соотношение $F(A)\setminus B\ne \emptyset $.

2. Э.Г. Вильялобос. Задача о продолжении действия.

3. Т.Ф. Жураев. Некоторые шейповы свойства ковариантных функторов.

4. А.А. Иванов (С.-Петербург). Топологии на произведениях, множествах отображений и множествах подмножеств. Доклад содержит изложение основ созданной автором теории двойственности между специальными топологическими структурами на произведении множеств $X$ и $Y$ с фиксированными на этих множествах топологическими структурами и топологическими структурами на множестве всех непрерывных отображений пространства $Y$ в топологическое пространство $Z$, также произвольно фиксированное (на отношении $Y / Z$ в терминологии автора).

5. А.П. Комбаров. Наследственные свойства типа нормальности и функторы. В 1948г. М.Катетов доказал, что из наследственной нормальности куба бикомпакта $X$ следует метризуемость $X$. В.В.Федорчук обобщил теорему Катетова, доказав, что если для какого-нибудь нормального функтора $\cal F$ степени $\ge 3$ бикомпакт ${\cal F} (X)$ наследственно нормален, то бикомпакт $X$ метризуем. В частности, если для бикомпакта $X$ его гиперсимметрическая степень $\exp_3(X)$ наследственно нормальна, то бикомпакт $X$ метризуем. Предлагаются дальнейшие обобщения этих теорем.

6. Р.Леви (США), М.В. Матвеев, Дз.Терасава (Япония). Еще о наростах над дискретами. Мы называем $\omega$-расширением пространства $X$ любое пространство вида $WX = X \cup N$, где $X$ сохраняет как подпространство $WX$ свою прежнюю топологию, а $N$ -- cчетное множество изолированных в $WX$ точек, плотное в $WX$ (от $X$ или $WX$ компактности, вообще говоря, не требуется). Два $\omega$-расширения одного и того же пространства $X$ называются эквивалентными, если между ними существует гомеоморфизм, оставляющий точки из $X$ на месте. Ранее Терасава показал, что все компактные $\omega$-расширения одного и того же метрического компакта эквивалентны. Мы продолжаем исследование $\omega$-расширений метризуемых и неметризуемых пространств.

7. Ю.Т. Лисица. Сильные гомологии обратного предела компактных хаусдорфовых пространств. Предложена точная диаграмма групп гомологий бикомпакта $X=\lim\limits_{\leftarrow} X_\lambda$, включающая гомоморфизм самих гомологий в чеховские гомологии и некоторые производные функторы от сильных и чеховских гомологий как предельного бикомпакта $X$, так и допредельных бикомпактов $X_\lambda$.

8. А.Н. Семенов (Киров). О максимальных подалгебрах в полуполе непрерывных положительных функций в топологии поточечной сходимости. Приводятся условия, позволяющие описывать подалгебры в полуполе непрерывных положительных функций, определенных на топологическом пространстве.

9. Ю.М. Смирнов. Об обобщенных метриках в смысле Ю.В.Трубникова. Показано, что класс $t$-метрик хорош тем, что он замкнут относительно основных алгебраических операций и что при всех таких операциях сохраняется равномерная топология и близость, а при естественных условиях -- полнота, предкомпактность и другие равномерные свойства. Произведение $\rho \rho'$ и минимум $\rho \wedge \rho'$ могут не быть $t$-метриками даже для метрик. Но степени $t$-метрик будут $t$-метриками.

10. М.Н. Подлевских (Киров). Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости. Дано описание замкнутых конгруэнций на полукольцах $C_p^+(X)$ непрерывных неотрицательных функций и полуполях $U_p(X)$ непрерывных положительных функций. Доказана определяемость тихоновского пространства $X$ решетками замкнутых конгруэнций на $C^+_p(X)$ и на $U_p(X)$. Дано описание замкнутых идеалов в полукольцах $C_p(X,S)$ для $S$-отделимого пространства $X$ и замкнутых простых идеалов в случае $S$-тихоновских пространств. Получена общая теорема двойственности для полуколец $C_p(X,S)$.

11. В.И. Пономарев. Различные типы неразреженности пространств.
Теорема 1. Если $A$-множество $E$ в полном по Чеху пространстве $X$ не $\sigma$-разрежено, то существует замкнутое в $E$ множество $F$, допускающее совершенное неприводимое отображение на канторово совершенное множество.
Теорема 2. Если $A$-множество $E$ в полном по Чеху пространстве не $\sigma$-псевдоприводимо, то существует замкнутое в $E$ множество, допускающее совершенное неприводимое отображение на пространство ${\bf P}$ иррациональных чисел.
Теорема 3. Если бикомпакт $X$ соабсолютен с $D^\tau$, то существует замкнутое в $X$ множество $F$, допускающее совершенное неприводимое отображение на $D^\tau$.
Теорема 4. Если диадический бикомпакт $X$ соабсолютен с $D^\tau$, то существует замкнутое в $X$ множество $F$, гомеоморфное $D^\tau$.

12. Л.Б. Шапиро. Гомеоморфные подпространства в гиперпространствах и произведениях.

13. В.Б. Шехтман. Модальные логики топологических пространств. Для описания свойств топологических пространств можно использовать модальные логики, т.е. неклассические логики, в которых имеются связки, интерпретируемые как топологические операторы (внутренность, замыкание, производное множество и др.). Исследуются общие проблемы полноты для логик такого типа, а также логики конкретных классов топологических пространств.

14. А.Н. Якивчик. Наследственная субнормальность произведений.

 

В.В. Федорчук, А.В. Архангельский, Б.А. Пасынков,
В.И. Пономарев, В.В. Филиппов

К оглавлению номера  Go!