Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


Александр Сергеевич Мищенко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. N.5 C. 67.

 

АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ МИЩЕНКО

18 августа 2001 г. исполнилось 60 лет выдающемуся математику, доктору физико-математических наук, профессору Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, лауреату Государственной премии Российской Федерации Александру Сергеевичу Мищенко.

А. С. Мищенко родился в Ростове-на-Дону в самом начале войны. В 1943 г. его отец был репрессирован (освобожден в 1952 г., реабилитирован в 1965 г.), и матери с маленькими детьми пришлось переехать к деду в г. Барвенково Харьковской области, где Александр Сергеевич и провел свое детство и школьные годы.

После окончания (с золотой медалью) школы в 1958 г. Александр Сергеевич поступил в Московский физико-технический институт, откуда через два года перевелся на механико-математический факультет Московского университета, который с отличием окончил в 1965 г. С этого времени его научная и педагогическая деятельность неразрывно связана с механико-математическим факультетом МГУ. Еще будучи студентом, Александр Сергеевич под руководством академика П. С. Александрова получил свои первые научные результаты в области общей топологии. Эти работы сразу же обратили на себя внимание советских и зарубежных ученых и не утратили актуальности -- специалисты по общей топологии продолжают их использовать и ссылаться на них до сих пор.

Сразу же после окончания университета Александр Сергеевич начал обучение в аспирантуре механико-математического факультета у профессора С. П. Новикова. Это время было эпохой расцвета алгебраической топологии, оказавшей воздействие на многих молодых людей тех лет. Полученные Александром Сергеевичем в аспирантские годы результаты по теории бордизмов и $K$-теории бесконечных клеточных комплексов внесли существенный вклад в развитие этой области топологии и принесли ему мировую известность. В 1970 г. он был приглашен сделать доклад по новым результатам в обобщенных теориях гомологий на Международном конгрессе математиков в Ницце.

В 1973 г., вскоре после кандидатской диссертации, А. С. Мищенко защищает докторскую (все результаты которой были им получены за несколько месяцев), а в 1979 г. становится профессором.

Основное направление исследований А. С. Мищенко, обеспечивших ему мировое признание, связано с изучением и применением алгебраических и функциональных методов в топологии гладких многообразий. Хорошо известно, что гладкая структура на многообразии порождает систему так называемых характеристических классов, принимающих значения в группах когомологий рассматриваемого многообразия. Характеристические классы позволяют описывать строение гладких многообразий; кроме того, с их помощью получаются различные классификационные теоремы.

Одна из классических проблем дифференциальной топологии заключается в нахождении характеристических классов, не зависящих от выбора гладкой структуры и являющихся топологическими или гомотопическими инвариантами. Если задача топологической инвариантности характеристических классов была решена еще в работах С. П. Новикова в середине 60-х годов, то задача нахождения гомотопически инвариантных характеристических классов до сих пор далека от своего полного решения. Особый интерес она вызывает еще и потому, что в отличие от других топологических проблем в ней существенную роль играет фундаментальная группа многообразия, описание и распознавание которой невозможно в конечных терминах. Точная формулировка проблемы известна под названием гипотезы Новикова: все высшие сигнатуры, т.е. характеристические числа вида ${\mbox{sign}}_x(M)=\langle L(M)f^*(x),[M]\rangle$, где $L(M)$ -- полный класс Хирцебруха, $x\in H^*(B\pi_1(M);{\bf Q})$ и $f:M\to B\pi_1(M)$ -- классифицирующее отображение, являются гомотопическими инвариантами многообразия $M$.

В 1970 г. А. С. Мищенко установил, что гомотопически инвариантными характеристическими классами могут быть только высшие сигнатуры. Более того, им был найден универсальный гомотопический инвариант со значениями в группе Уолла фундаментальной группы с рациональными коэффициентами -- так называемая симметрическая сигнатура $\sigma(M)\in L_*({\bf Q}\pi_1(M))$, являющаяся аналогом классической сигнатуры. В 1974-1975 гг. А. С. Мищенко ввел понятие и разработал теорию фредгольмовых представлений, что позволило ему доказать гипотезу Новикова для широкого класса фундаментальных групп. Эта теория в дальнейшем была распространена им на случай произвольных $C^*$-алгебр и доведена до обобщенных формул Хирцебруха. И сейчас попытки расширить класс групп, для которых справедливы гипотеза Новикова и обобщающая ее гипотеза Баума-Конна, находятся в центре внимания специалистов, причем методы исследования по существу используют идеи А. С. Мищенко.

Пионерские работы А. С. Мищенко в области фредгольмовых представлений и $C^*$-гильбертовых модулей наряду с работами Г. Г. Каспарова и Брауна-Дугласа-Филлмора послужили толчком к проникновению топологических (прежде всего гомотопических) методов в теорию $C^*$-алгебр. Наиболее интересные результаты здесь связаны с теорией асимптотических гомоморфизмов. В настоящее время теория $C^*$-алгебр и гильбертовых $C^*$-модулей получила дальнейшее развитие как в трудах А. С. Мищенко и его учеников, так и в трудах других математических школ в мире. Асимптотический подход позволил А. С. Мищенко разработать теорию так называемых почти алгебраических комплексов Пуанкаре, в которых квадрат граничного оператора отличен от нуля, но достаточно мал, а диаграммы лишь ``почти'' коммутативны. Такой почти алгебраический комплекс Пуанкаре определяется комбинаторной структурой многообразия при достаточно мелком разбиении, при этом корректно определена его сигнатура, которая может служить левой частью формулы Хирцебруха.

Оптимистическое отношение А. С. Мищенко к новым научным проблемам характеризуется фразой, которую от него часто слышали его ученики: ``Если Вы заранее знаете, что этого сделать нельзя, то Вы этого и не сделаете''. Теория фредгольмовых представлений была им создана, несмотря на то, что практически все специалисты по теории представлений считали невозможным получение топологических инвариантов с помощью представлений.

Исследуя гомотопические свойства эллиптических операторов с коэффициентами в произвольной $C^*$-алгебре, в 1978 г. А. С. Мищенко совместно с А. Т. Фоменко сформулировал понятие фредгольмовости таких операторов, несмотря на то что они не являются фредгольмовыми операторами в классическом смысле. Оказалось, что достаточно, чтобы ядро и коядро таких операторов были подмодулями в конечно-порожденных проективных модулях над $C^*$-алгеброй. Это обобщение фредгольмовости позволило им получить формулы для индекса эллиптических операторов над произвольной $C^*$-алгеброй, обобщающие формулы Атьи-Зингера. Теория эллиптических операторов над $C^*$-алгебрами нашла в дальнейшем многочисленные применения в уравнениях с частными производными, в задачах геометрии и топологии, в теории банаховых алгебр. В частности, эта теория позволяет исследовать гомотопические и спектральные свойства эллиптических операторов на некомпактном пространстве ${\bf R}^n$ с быстроубывающими, почти периодическими или случайными коэффициентами.

В семидесятых годах А. С. Мищенко начинает разрабатывать алгебраические и дифференциально-геометрические методы исследования структуры гамильтоновых динамических систем на симплектических многообразиях, допускающих большую группу симметрий. Вопрос о полной интегрируемости движения $n$-мерного твердого тела как естественное обобщение задачи о движении трехмерного твердого тела интересовал исследователей уже давно. Эта задача была поставлена в 1966 г. В. И. Арнольдом. Еще в 1970 г. А. С. Мищенко нашел дополнительную серию первых интегралов движения $n$-мерного твердого тела. Однако она давала полную интегрируемость помимо трехмерного твердого тела еще только в четырехмерном случае. Существенным шагом в этом исследовании оказалось выяснение геометрической природы условий полной интегрируемости в случае наличия некоммутативной группы Ли симплектических симметрий. В 1977 г. А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко нашли естественные алгебро-геометрические условия, при которых существование конечномерной некоммутативной алгебры Ли первых интегралов автоматически влечет полную интегрируемость гамильтоновой динамической системы в классическом смысле.

В этой же работе был исследован вопрос, когда условия некоммутативной полной интегрируемости можно переработать в условия полной интегрируемости в классическом, коммутативном смысле. Эти условия связаны не со свойствами симплектического многообразия и гамильтонова векторного поля на нем, а с алгебраическими свойствами соответствующей некоммутативной алгебры Ли первых интегралов гамильтонова векторного поля. Были найдены достаточно широкие естественные условия на структуру конечномерной алгебры Ли, при которых некоммутативная теорема Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновой динамической системы влечет классическую коммутативную теорему Лиувилля. В 1996 г. научные достижения А. С. Мищенко в этой области были отмечены Государственной премией Российской Федерации.

О широте круга научных интересов А. С. Мищенко свидетельствует краткое перечисление полученных им результатов, помимо приведенных выше. Он установил связь условий квантования для канонического оператора Маслова с гомологическими инвариантами лагранжева многообразия, дал решение линейной дифференциальной игры преследования в случае, когда нет дискриминации убегающего объекта, получил формулы для аналитического кручения неодносвязных многообразий над $C^*$-алгебрами, нашел гомологические свойства димерных покрытий, связанных с двумерной моделью Изинга.

В своей деятельности А. С. Мищенко никогда не ограничивался чисто теоретическими проблемами. Когда в 80-х годах Минводхоз СССР пытался ``научно'' обосновать необходимость переброски части стока северных и сибирских рек на юг, в Математическом институте АН СССР им. В. А. Стеклова была создана лаборатория математических задач природоведения, руководителем которой стал А. С. Мищенко. На заседаниях организованного им семинара по математическим проблемам экологии изучались опасные в экологическом отношении крупномасштабные народнохозяйственные проекты (программа спасения Каспийского и Аральского морей, атомная энергетика, Ленинградская дамба, строительство крупных гидроэлектростанций и др.) и проводилась их эколого-математическая экспертиза. Например, гидротехниками была построена генеральная гидравлическая модель Невской Губы, на сооружение которой ушли огромные деньги. Она была предназначена для доказательства того, что Ленинградская дамба не окажет никакого влияния на экологическую ситуацию в Невской Губе. В процессе экспертизы было доказано, что использование этой модели математически некорректно: она неадекватна реальным процессам, проходящим в Невской Губе. И действительно, после того, как южный створ Невской Губы (начиная с острова Котлин) был перекрыт, произошли неблагоприятные и необратимые экологические изменения.

Большое внимание А. С. Мищенко уделяет вопросам математического образования. С 1983 по 1988 г., когда проводилась большая работа по составлению школьной программы по математике и внедрению в школу новых учебников, А. С. Мищенко являлся заместителем председателя комиссии Отделения математики АН СССР по школьному математическому образованию и принимал активное участие в экспертизе проектов учебников. Напомним, что в это время методика преподавания математики с ``теоретико-множественным уклоном'', разработанная в 60-70-е годы, уже успела пустить корни в школе и нуждалась в корректировке. Как высокопрофессиональный математик А. С. Мищенко проявил глубокое знание методов преподавания математики и ее истории.

А. С. Мищенко создал на механико-математическом факультете МГУ блестящую научную школу, известную далеко за пределами нашей страны. Он воспитал 4 докторов и 15 кандидатов наук, написал 4 монографии и 2 учебника, опубликовал более 140 научных работ. Более 20 лет он руководит работой семинара по топологии и анализу, на котором считают за честь сделать доклад математики не только из Москвы, но и со всей страны, а также зарубежные специалисты. Этот семинар стал стартовой площадкой для многих известных математиков.

Много лет являясь членом редколлегий журналов ``Вестник Московского университета'', ``Математический сборник'', ``Математические заметки'', ``Annals of Global Analysis and Geometry'', А. С. Мищенко способствует тому, что эти издания публикуют работы высокого научного уровня и пользуются заслуженным авторитетом.

Мы желаем Александру Сергеевичу Мищенко крепкого здоровья, счастья, многих лет плодотворной работы, новых учеников и осуществления новых творческих замыслов.


А.А. Ирматов, О.Б. Лупанов, В.М. Мануйлов, В.А. Садовничий,
В.П. Маслов, А.А. Михалев, Ю.П. Соловьев, Е.В. Троицкий, А.Т. Фоменко

К оглавлению номера  Go!