Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


Научно-исследовательский семинар по векторному и тензорному анализу и приложениям к геометрии, механике и физике имени П.К. Рашевского // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. N.6 C. 76-79.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ВЕКТОРНОМУ И ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ И ПРИЛОЖЕНИЯМ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
ИМЕНИ П.К. РАШЕВСКОГО

Руководители: В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко

Заседания осеннего семестра 1999/2000 учебного года

13 сентября

В. В. Трофимов. Геометрия клеточных пространств и визуализация финансовых потоков. Задача визуализации различных моделей, как правило, естественно формулируется и решается в рамках геометрии $CW$-комплексов (клеточных пространств). Это связано с тем, что клеточные пространства допускают удобное компьютерное представление и алгоритмы, работающие с функциями на этих пространствах, имеют хорошую компьютерную реализацию.

Построена модель визуализации финансовых и товарных потоков для большого числа фирм в терминах теории клеточных пространств. Соответствующие потоки, как известно, описываются с помощью ориентированных графов, каждое ребро которых помечено вещественным числом. Показано, что такой граф и, следовательно, соответствующий финансовый поток могут быть представлены функцией, определенной на некотором клеточном разбиении листа Мебиуса либо трехмерного проективного пространства без точки.

20 сентября

В. О. Мантуров. О кодировании узлов в $3$-многообразиях. В работе речь идет о новом способе задания трехмерных многообразий и узлов в трехмерных многообразиях с помощью так называемых атомов -- графов кратности четыре со специальной структурой.

Известно, что всякое трехмерное многообразие можно закодировать с помощью так называемых специальных 2-комплексов -- двумерных остовов клеточных комплексов, двойственных некоторой триангуляции 3-многообразия.

Легко видеть, что каждым атомом порождается некоторый специальный 2-комплекс. Действительно, рассмотрим на остове атома все уникурсальные кривые, т.е. такие циклы на остове атома, что каждое следующее ребро является ``противоположным'' предыдущему. Заклеим уникурсальные кривые дисками. Получим специальный 2-комплекс $C$, остов которого совпадает с остовом атома $V$.

Назовем специальные 2-комплексы такого вида атомными 2-комплексами.

Доказана теорема о том, что всякое ориентируемое 3-многообразие соответствует некоторому ориентируемому атому.

Атом как граф кратности четыре со специальной структурой можно задать с помощью хордовой диаграммы со специальными метками. Но, вспоминая, что атом является подкомплексом специального 2-комплекса, получаем, что такая диаграмма представляет собой некоторую замкнутую кривую внутри 3-многообразия, т.е. узел.

Теорема. Любой изотопический класс узла в любом (ориентируемом) $3$-многообразии задается таким способом.

Замечание. Умножению хордовых диаграмм естественным образом соответствует операция взятия связной суммы узлов в связной сумме 3-многообразий.

27 сентября

Н. В. Денисова, В. В. Козлов. Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виде двумерного тора. Рассматривается задача об условиях существования полиномиальных по импульсам интегралов обратимых гамильтоновых систем. Кинетическая энергия -- риманова метрика нулевой кривизны, потенциал -- гладкая функция на двумерном торе. Как известно, существование интегралов степени 1 и 2 связано с наличием циклических координат и разделением переменных. Известна также следующая гипотеза: если имеется интеграл степени $n$, независимый от интеграла энергии, то обязательно найдется дополнительный интеграл степени 1 или 2. В настоящей работе эта гипотеза доказана для $n=3$ (обобщение теоремы М. Л. Бялого), а для $n=4, 5$ и 6 это установлено при некоторых дополнительных предположениях о спектре потенциала.

4 октября

М. Н. Марюков (Брянск). Задачи распознавания образов на множествах многоугольников и многогранников и их обобщения. Данное исследование относится к построению и анализу геометрических алгоритмов. Решена следующая задача. Пусть $F_1$ и $F_2$ -- два плоских многоугольника. Необходимо установить, являются ли они: (а) равными; (б) подобными; (в) аффинно-эквивалентными.

Теорема. Существует алгоритм решения данной задачи с временной сложностью $O(N^2)$ для произвольных многоугольников и с временной сложностью $O(N)$ для выпуклых многоугольников, где $N$ -- число вершин многоугольников.

Рассмотрены возможные способы обобщения алгоритмов решения приведенной задачи на многогранники и гладкие поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

11 октября

И. Х. Сабитов. Обобщенная формула Герона и решение проблемы кузнечных мехов. Гипотеза кузнечных мехов, сформулированная в 1978 г., утверждает, что объем изгибаемого многогранника в процессе его изгибания остается постоянным. В докладе показано, что утверждение этой гипотезы является простым следствием формулы, обобщающей формулу Герона для площади треугольника на объемы произвольных многогранников. Сформулирован ряд нерешенных вопросов, относящихся к алгебро-геометрической природе обобщенной формулы Герона, а также обсуждается вопрос о возможных подходах к доказательству аналогичной гипотезы для объемов изгибаемых компактных поверхностей.

18 октября

Ю. С. Макарычев, А. Б. Скопенков. Новое доказательство критерия Куратовского. В докладе приведено новое доказательство критерия Куратовского планарности графов, полученное первым автором. Во второй части доклада дан обзор близких результатов о вложимости графов в поверхности.

25 октября

В рамках Международной конференции ``Лаптев-90'' состоялись следующие доклады.

С. Г. Лейко (Одесса). Обобщенный интеграл Клеро и интегрируемость геодезического потока на сферическом касательном расслоении с метрикой Сасаки. Рассмотрим двумерное риманово многообразие $(M^2, g)$ и сферическое касательное расслоение $T_{\rho } M^2$ векторов, квадрат длины которых равен $\rho$, и на $T_{\rho } M^2$ метрику Сасаки $g_s$: $g_{ij}dx^idx^j+g_{ij}Dy^iDy^j,$ $Dy^k=dy^k+\Gamma ^k_{ij}dx^idy^j,$ $g_{ij}y^iy^j=\rho.$ С помощью обобщенного интеграла Клеро, найденного ранее для изопериметрических экстремалей поворота, получен следующий результат.

Теорема. Если риманово многообразие $(M^2, g)$ локально изометрично поверхности вращения, то геодезический поток сферического касательного расслоения $T_{\rho } M^2$ с метрикой Сасаки $g_s$ вполне интегрируемый по Лиувиллю.

Этот результат аналогичен тому, что классический интеграл Клеро приводит к полной интегрируемости геодезического потока на поверхности вращения.

Е. М. Горбатенко (Томск). Комплекс Ченя итерированных интегралов и его деформационное квантование. Рассматривается гладкое многообразие $M$, точка $x_0\in M$ и дифференцируемое пространство кусочно-гладких путей $P_{x_0}M$ с началом в точке $x_0$ (Kuo-Tsai Chen. Iterated path integrals// Bull. AMS. 1977. 83, N 5. 831-879). По схеме H.-D.Cao, J.Zhou cтроится деформационное квантование алгебры итерированных интегралов Ченя. Система $I\subset \Omega ^._M$ внешних дифференциальных уравнений переносится на $P_{x_0}M$, и вычисляется квантовый флаг производных систем. Связанная с ним градуированная супералгебра Ли является деформацией градуированной нильпотентной супералгебры Ли из работы Е.М. Горбатенко ``Каркасы неголономности и продолжения внешних дифференциальных систем. Скобки Схоутена и внешние дифференциальные системы'' ( Геом. сб. Вып. 31. Томск, 1993. 3-21).

1 ноября

И. Г. Шандра. К вопросу классификации римановых пространств почти произведений. В докладе доказано существование канонической связности на римановом пространстве почти произведений. Получена классификация данного типа пространств в зависимости от свойств тензора кручения канонической связности и присоединенной $ Q$-алгебры.

15 ноября

Л. Ж. Паланджанц (Майкоп). Вариация мультипликативного интеграла. Для криволинейного мультипликативного интеграла определяется понятие вариационной производной. С помощью формулы мультипликативного дифференцирования по параметру под знаком интеграла (формула Шлезингера) получено условие равенства нулю вариационной производной. Таким образом получен аналог уравнений Эйлера-Лагранжа, который оказался уравнением нулевой кривизны. Найдены также аналоги уравнений Гамильтона и оператора Якоби в случае второй вариации.

22 ноября

С. Д. Тюрина (Коломна). Интеграл Концевича для торических узлов типа $(2,n).$ Интеграл Концевича был построен в 1992 г., однако только в 1997 г. он был вычислен для тривиального узла. В работе исследуется интеграл Концевича для торических узлов типа $(2,n)$. Рассматривается представление узла в виде композиции элементарных танглов (связок). Зная выражения интеграла Концевича для этих танглов, можно получить выражение универсального инварианта Васильева от их композиции. Техника вычислений интеграла таким способом была разработана в 1995 г., однако в явном виде были вычислены лишь слагаемые второго порядка для трилистника.

29 ноября

В. В. Коннов. Геометрия лагранжевых подмногообразий на многообразии невырожденных нуль-пар. Невырожденную нуль-пару в проективном пространстве ${\bf R} P^n$ составляют точка и инцидентная ей гиперплоскость. Совокупность всех таких нуль-пар можно естественным образом наделить структурой $2n$-мерного, связного, ориентированного, некомпактного, вещественно-аналитического многообразия $M\equiv GL(n+1, {\bf R}) / GL(n, {\bf R})\times GL(1, {\bf R})$, на котором внутренним образом определяются структура прямого произведения, гамильтонова структура и псевдориманова метрика симметричной сигнатуры. Оказывается, что многообразие невырожденных нуль-пар несет каноническую кэлерову структуру гиперболического типа постоянной голоморфной секционной кривизны $c\neq 0$. Таким образом, многообразие невырожденных нуль-пар вещественного проективного пространства является гиперболическим аналогом комплексных пространственных форм в эрмитовой геометрии. При этом аналогом вполне вещественных подмногообразий на многообразии нуль-пар являются подмногообразия, аннулирующие 2-форму канонической гамильтоновой структуры, т.е. лагранжевы подмногообразия.

В настоящей работе изучается каноническая кэлерова структура гиперболического типа на многообразии невырожденных нуль-пар. Находится полная классификация вполне геодезических лагранжевых подмногообразий и приводится их конструктивное построение. В частности, дается исчерпывающая геометрическая характеризация вполне изотропных многообразий максимальной размерности, которые с необходимостью являются вполне геодезическими и лагранжевыми. Приводятся примеры компактных лагранжевых подмногообразий (напомним, что само многообразие $M$ некомпактно).

6 декабря

О. Д. Соломатин (Орел). О разложении векторов локально выпуклого пространства в ряд по собственным элементам линейного оператора. Обсуждается алгоритм разложения элементов локально выпуклого пространства в ряд по собственным векторам линейного оператора в одном, ранее не изучавшемся случае, а именно в случае оператора конечного порядка и нулевого типа.

Этот результат является обобщением и распространением в локально выпуклое пространство известных результатов А.Ф. Леонтьева о разложении каждой целой функции в ряд экспонент (случай оператора дифференцирования) и их обобщений (случай оператора обобщенного дифференцирования).

Показано также, что предлагаемая схема разложения применима и для случая неограниченного линейного оператора.

При решении указанной задачи широко используются аппарат теории целых функций, понятия порядка и типа линейного оператора, понятие собственной вектор-функции данного оператора.

20 декабря

В. А. Васильев. Топологические порядковые комплексы и разрешение дискриминантов. Обобщенные дискриминанты -- это подмножества функциональных пространств, состоящие из функций или отображений со слишком сложными особыми точками. Указаны соответствующие примеры: множество полиномов с (много)кратными корнями, множество вырожденных матриц $n\times n$, множество особых алгебраических гиперповерхностей, множество неморсовских функций, множество операторов с непростым спектром, множество самопересекающихся кривых в ${\bf R}^n$ и многие другие. Они связаны двойственностью Спеньера-Уайтхеда с соответствующими множествами неособых объектов.

Предложен способ вычисления гомологий этих пространств с помощью иерархии возможных особых множеств таких объектов. Этот метод является непрерывным аналогом комбинаторной формулы включений-исключений и приводит к многочисленным комбинаторно-топологическим задачам.

27 декабря

В. В. Трофимов. Класс Кэлера лагранжевых подмногообразий в четырехмерных симплектических многообразиях. Построен новый инвариант лагранжевых подмногообразий. Для этого применяется почти комплексная структура, согласованная с данной симплектической структурой. Основной элемент этой конструкции составляет следующее утверждение.

Теорема. Пусть $\omega (X,Y)$ -- невырожденная кососимметрическая билинейная форма в четырехмерном векторном пространстве $V$; $J$ -- комплексная структура в $V$, согласованная с $\omega$; $L$ -- лагранжево подпространство в $V$, $g(X,Y)=\omega (X, JY)$ -- евклидово скалярное произведение в $V$, порожденное $\omega$ и $J$. Тогда корректно определен угол $\theta$ для плоскости $L$ из условия: если $e\in L$ -- произвольный вектор, то $\theta$ -- угол между $Je$ и $\pi (Je)$, где $\pi $ -- ортогональная проекция относительно скалярного произведения $g(X, Y)$ пространства $V$ на $L$.

Эта конструкция позволяет определить новые инварианты лагранжевых подмногообразий $L^2$ в четырехмерных симплектических многообразиях $M^4$. Если фиксировать некоторую почти комплексную структуру $J$ на $M^4$, согласованную с симплектической структурой $\omega$, то можно построить отображение когомологий $f^*: H^1(S^1)\longrightarrow H^1(L^2),$ где $S^1$ -- окружность. Поскольку $H^1(S^1)={\bf R}$, то определен класс когомологий $t(L^2)=f^*(1)\in H^1(L^2;{\bf R})$. Класс $t(L^2)$ назовем классом Кэлера подмногообразия $L^2$ в симплектическом многообразии $M^4$ относительно почти комплексной структуры $J$.

К оглавлению номера  Go!