Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С.Александрова // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. N.6 C. 72-75.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания осеннего семестра 1996/97 учебного года

19 сентября

1. С.А. Богатый. Конечнократные отображения в евклидово пространство. Показано, что теорема Дранишникова-Веста позволяет доказать гипотезу Гуревича, а теорема Дранишникова-Реповша-Щепина -- гипотезу Небелинга о характеризации размерности компакта с использованием плотности экономичных отображений в евклидово пространство.

2. А.С. Гулько. Выпрямляемые пространства (предзащита диссертации).

26 сентября

С.А. Богатый. Конечнократные отображения в евклидово пространство. С помощью индекса свободного действия группы $\mbox{\framn Z}_p$ показано, что для $n$-мерного остова $(2n^2+5n)$-мерного симплекса теорема Гуревича о плотности множества экономичных отображений в евклидово пространство $\mbox{\framn R}^{n+1}$ может быть обращена уже на уровне существования экономичного отображения, т.е. всякое отображение этого $n$-мерного компакта в $\mbox{\framn R}^{n+1}$ имеет точки порядка $\geq n+1$. Аналогичный результат получен для размерностно неполноценных компактов. Доказана топологическая стабильность теоремы Тверберг.

3 октября

1. А.Ю. Зубов. Замкнутость проекции произведения в категории непрерывных отображений. Рассматриваются обобщения теорем Нобла, Комбарова и др. о замкнутости проекции произведения топологических пространств на категорию непрерывных отображений с общим правым концом. Вводятся определения тесноты и секвенциальности отображения, рассматриваются свойства типа компактности для отображений.

2. Б.А. Пасынков. О конечномерности топологических произведений -- сильно паракомпактных или с метризуемым сомножителем. Если пространство произведения $X\times Y$ нормально и ${\rm Ind} X<\infty, {\rm Ind}Y<\infty$, то и ${\rm Ind}X\times Y<\infty$, если или произведение $X\times Y$ сильно паракомпактно, или сомножитель $X$ метризуем. В обоих случаях размерность ${\rm Ind} X\times Y$ оценивается сверху целозначной функцией от размерностей ${\rm Ind}X$ и ${\rm Ind}Y$.

10 октября

1. В.В. Федорчук. О вещественной полноте пространств $\tau$-аддитивных вероятностных мер. В ZFC функтор $P_\tau$ не сохраняет вещественную полноту. А именно $P_\tau({\mbox{\framn R}}^{\omega_1})$ не является вещественно полным.

2. С.М. Агеев (Белоруссия), С.А. Богатый, П. Фабел (США). К проблеме Веста. Методами теории эквивариантных экстензоров доказано, что для всякого $n\geq 2$ пространство Банаха-Мазура $Q(n)$ является абсолютным ретрактом. Случай $n=2$ ранее доказан П. Фабелом другим методом.

17 октября

1. Б.А. Пасынков. О нормальности и прямоугольности топологических произведений.

1. Пусть пространство $X$ метризуемо, а произведение $X\times Y$ прямоугольно. Если непрерывное отображение $f: X\to Z$ на метризуемое пространство $Z$ открыто и послойно сепарабельно (т.е. сепарабельны все слои $f^{-1}z$), то произведение $Z\times Y$ также прямоугольно.

2. Если для сепарабельного недискретного метризуемого пространства $X$ произведение $X\times Y$ нормально, то произведение $X\times Z$ нормально для любого метризуемого непрерывного образа $Z$ пространства $X$.

2. О.В. Сипачева. О паратопологических группах. Паратопологическая группа -- это группа с топологией, относительно которой умножение непрерывно. На топологических группах определены левая, правая и двусторонняя квазиравномерности -- аналоги обычных равномерностей на топологических группах; квазиравномерности отличаются отсутствием симметричности.

Д. Дойчинов предложил конструкцию пополнения паратопологической группы относительно естественных квазиравномерностей, использующую $D$-фильтры Коши (пары фильтров Коши). В абелевых группах произведение двух $D$-фильтров Коши является $D$-фильтром Коши. Приведен пример отделимой неабелевой паратопологической группы с двумя $D$-фильтрами Коши на ней, произведение которых не является $D$-фильтром.

24 октября

1. В.В. Федорчук. Функтор $P_R$ не сохраняет ни вещественную полноту, ни полноту по Дьедонне. Через $P_R : \mbox{\bf Tych} \to \mbox{\bf Tych}$ обозначается функтор радоновских вероятностных борелевских мер.

Теорема. Для кардинального числа $\kappa$ следующие условия равносильны: 1) $\kappa \leq \omega$; 2) $P_R({\mbox{\framn R}}^\kappa)$ вещественно полно; 3) $P_R({\mbox{\framn R}}^\kappa)$ полно по Дьедонне.

2. В.В. Успенский. К задаче Федорчука о расслоениях пространств вероятностных мер.

31 октября

1. С.А. Богатый. Теорема Дранишникова и теорема Гуревича о регулярно ветвящихся отображениях. Показано, что теорема Дранишникова о пересечении компактов в евклидовом пространстве позволяет заменить в теореме Гуревича о регулярно ветвящихся отображениях число $2\dim X$ на число, не превосходящее $\dim X^2$.

2. В.В. Успенский. Некоторые обобщения теорем Гуревича.

14 ноября

1. П.В. Семенов. Структура множества неподвижных точек паравыпуклозначных сжатий. Указаны соотношения между степенью невыпуклости значений и степенью сжимаемости отображения, гарантирующие AR-ность указанного множества.

2. И.В. Ященко. О произведениях псевдорадиальных пространств.

21 ноября

1. С.М. Агеев (Белоруссия). Теория экстензоров локально компактных групп преобразований. В докладе (совместно с Д. Реповшем) доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Если на собственном $G$- ANE-пространстве $X$ действует матричная группа $G$, то пространство орбит $X/G\in$ ANE.

Теорема 2. Если на выпуклом собственном $G$-пространстве $X$ действует компактная группа $G$, то $X\in G$- ANE.

Полученные результаты применяются к исследованию топологии компакта Банаха-Мазура.

2. С.А. Богатый. Теоремы Люстерника-Шнирельмана, Щепина и отображения $\beta f$. Доказано обобщение теоремы Аартса-Фоккинка-Вермеера ($k=1$ и пространство метризуемо). Для любых $k$ штук свободных гомеоморфизмов $n$-мерного паракомпакта на себя число раскраски не превосходит $n+2k+1$. В качестве приложения получено, что для свободного действия конечной группы $G$ на нормальном (конечномерном паракомпактном) пространстве $X$ число раскраски LS и род $K$ пространства связаны соотношением

\begin{displaymath} \mbox{LS}(X;G)=K(X;G)+\vert G\vert-1\ \ (\leq \dim X+\vert G\vert), \end{displaymath}

откуда следует, что при любых числах $n$ и $k$ для свободного действия группы $G=\mbox{\framn Z}_{2k+1}$ на пространстве $G*G*\cdots *G$ в первой теореме имеет место равенство.

Показано, что для любых $k$ штук попарно коммутирующих свободных непрерывных отображений
$n$-мерного бикомпакта в себя число раскраски не превосходит $n+2k+1$. Доказано обобщение теоремы Штайнлайна (свободный периодический гомеоморфизм), получившего отрицательное решение одной проблемы Люстерника. Для любого свободного отображения бикомпакта в себя число раскраски не превосходит учетверенного числа Хопфа.

28 ноября

1. В.В. Федорчук. К одной теореме В.И. Пономарева.

2. А.Н. Карпов. Некоторые ослабления свойства Линделефа и произведения. Произведение нормального квазилинделефова пространства на компакт может не быть квазилинделефовым, однако если такое произведение является нормальным пространством, то оно будет и квазилинделефовым. Если произведение некоторого квазилинделефова пространства $X$ на любой компакт является квазилинделефовым, то $X$ линейно линделефово.

5 декабря

1. В.И. Малыхин. О подпространствах секвенциальных пространств. Доказано, что пространство непрерывных на отрезке $[0,1]$ функций в топологии поточечной сходимости не является подпространством секвенциального пространства (ответ на вопрос А.В. Архангельского).

Исследуется вопрос о наличии сходящихся последовательностей в плотном в себе подпространстве секвенциального пространства. Оказывается, что во многих секвенциальных пространствах существуют такие подпространства.

2. А.В. Одиноков. О нормальности и прямоугольности топологических произведений некоторых пространств.

19 декабря

1. Т.Ф. Жураев. К одной теореме Федорчука.

Теорема. Если для какого-нибудь нормального функтора $\cal F$ степени $\geq 3$ и хаусдорфова счетно-компактного $X$ пространство ${\cal F}(X)$ наследственно нормально, то $X$ -- метризуемый компакт.

Следствие. Если для компакта $X$ пространство $X\setminus \Delta (n\geq 3)$ наследственно нормально, то $X$ метризуем.

2. Д.В. Малыхин. Об открытых отображениях линейно упорядоченных пространств.

Заседания весеннего семестра 1996/97 учебного года

27 февраля

1. С.М. Агеев (Белоруссия). Об одной задаче Ф. Ансела.

Теорема. Тонкая гомотопическая инъективность $f : X \to Y$ метрических пространств является тонкой гомотопической эквивалентностью в каждом из следующих случаев: 1) $X$ -- полное пространство; 2) $X$ равностепенно локально стягиваемо.

2. У.Х. Каримов (Таджикистан). Об $f$-базах пространств. База топологического пространства называется $f$-базой, если замыкания любых двух непересекающихся ее элементов не пересекаются.

Теорема 1. Если компактные хаусдорфовы пространства $X$ и $Y$ обладают $f$-базами, нервы которых симплициально изоморфны, то $X$ и $Y$ гомеоморфны.

Теорема 2. Всякое метрическое пространство обладает $f$-базой.

6 марта

1. С.М. Агеев (Белоруссия), С.А. Богатый, Р. Хименес (Мексика). Об эквивариантных свободных экстензорах.

Теорема. Для пространства $X$ со свободным действием конечной группы $G$ следующие условия эквивалентны:

(1) $X$ нормально, $\dim X \leq n$, род действия группы $G$ не превосходит $n+1$;

(2) $X$ нормально, $\dim X \leq n$, род действия группы $G$ конечен;

(3) $Y^n(G) = G * \ldots * G \in G-\mbox{{\rm AE}}(X)$.

2. А.П. Комбаров. Свойства типа нормальности в произведениях и экспоненте. Доказано, что если любое $F_{\sigma}$-множество в произведении $X\times Y$ является $\delta$-нормальным пространством, то либо $X$ нормально, либо все счетные подмножества $Y$ замкнуты. Если произведение $X\times Y$ является наследственно $\delta$-нормальным пространством, то либо $X$ совершенно нормально, либо все счетные подмножества $Y$ замкнуты. Получены следствия для $\exp(X)$, $X^{3}$ и бесконечных степеней $X$. Аналогичные теоремы доказываются и для других свойств, более слабых, чем нормальность, и определяемых с помощью некоторого фиксированного класса $\cal P$ топологических пространств так, что всякое замкнутое подмножество, принадлежащее $\cal P$, имеет сколь угодно малые замкнутые окрестности.

13 марта

1. В.Г. Кановей. О классификации борелевских и более сложных отношений эквивалентности и других объектах.

2. А.Н. Якивчик. Субнормальность в произведениях пространств на метризуемые компакты. Топологическое (хаусдорфово) пространство называется субнормальным, если любые два его непересекающихся замкнутых множества лежат в некоторых непересекающихся множествах типа $G_\delta$. Доказано, что произведение счетно субпаракомпактного (или, что то же самое, субнормального и счетно метакомпактного) пространства на любой метризуемый компакт (и даже на любое $\sigma$-компактное хаусдорфово пространство со счетной сетью) субнормально.

20 марта

1. С.А. Богатый. К примеру Хопфа, теореме Щепина и вопросу Аартса. Рассматривается применение теории индекса свободного действия группы $\mbox{\framn Z}_p$ для доказательства существования склеиваемой орбиты в случае произвольного отображения заданного пространства в произвольное пространство, что позволяет ответить на вопрос Аартса о склейке некоторой орбиты в случае односвязного пространства.

2. С.В. Людковский. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в неархимедовы банаховы пространства.

Определения. (1) Пусть $H$ -- банахово пространство над неархимедовым полем $K$. Ультраметризуемое пространство $M$ называется многообразием, смоделированным на $H$, если для $M$ выбран атлас ${\rm At}(M) = \{(U_b,f_b) : b \in A\}$ с картами $(U_b,f_b)$, такими, что $f_b : U_b \to V_b$ -- гомеоморфизмы, $U_b$ открыты в $M$, $V_b$ открыты в $H$, $\bigcup\limits_{b \in A} U_b = M$. (2) Метрика $\rho$ на $M$ называется ультраметрикой, если $\rho(x,y) \leq \max (\rho(x,z),\rho(y,z))$ для любых $x,y,z \in M$.

Теорема. Если $M$ и $H$ таковы, что ${\rm card}A \leq w(H)$, $H$ бесконечномерно над $K$ или $K$ не локально компактно, то $M$ гомеоморфно открыто замкнутому подпространству в $H$.

27 марта

1. П.В. Семенов. Теоремы о неподвижных точках при контролируемом отказе от выпуклости значений отображения. Получены обобщения теорем Какутани, Гликсберга и т.п. для полунепрерывных сверху отображений, невыпуклость значений которых мажорируется некоторой $g$-суммируемой числовой функцией.

2. Е.В. Щепин. О размерности пересечения компактов в евклидовом пространстве. В докладе сделан обзор результатов, связанных с проблемами размерностей трансверсальных пересечений компактов в евклидовом пространстве, в основном по статье А.Н. Дранишникова, Д. Реповша и Е.В. Щепина ``Transversal intersection formula''. Изложено доказательство следующего утверждения: если размерность произведения двух компактов $X$ и $Y$ на $k$ больше, чем размерность евклидова пространства $\mbox{\framn R}^n$, в котором они лежат, то существуют такие непрерывные отображения этих компактов в $\mbox{\framn R}^n$, образы которых устойчиво пересекаются по множеству размерности $k$.

3 апреля

1. В.И. Малыхин. Неразложимость не является дескриптивно хорошим свойством. Рассматривается $T_1$-топология $\tau$ на $X$ без изолированных точек, NE$(\tau)$ -- семейство подмножеств с непустой внутренностью. В $2^X$ рассматривается подмножество $X_{\mbox{{\rm NE}}(\tau)} = \{X_A : A \in $NE$(\tau)\}$. Устанавливается несколько теорем о связи топологии $\tau$ с $X_{\mbox{{\rm NE}}(\tau)}$, в частности доказывается, что если $X_{\mbox{{\rm NE}}(\tau)}$ обладает свойством Бэра, то топология $\tau$ разложима, а если $X_{\mbox{{\rm NE}}(\tau)}$ есть $A$-множество, то разложимо всякое плотное подмножество в $(X,\tau)$.

2. В.И. Пономарев. К проблеме Г. Амирджанова.

Теорема. Если каждое непустое открытое множество вполне регулярного пространства $X$ непсевдокомпактно и пространство $X$ имеет счетный $\pi$-вес (или $\pi w(X) = \omega_1$ и $c(X) = \omega_0$), то стоун-чеховский нарост $\beta X \setminus X$ пространства $X$ имеет всюду плотное нульмерное (в смысле ${\rm ind}$) подпространство.

10 апреля

1. А.В. Осипов (Екатеринбург). Характеристика некоторых минимальных топологических пространств. Рассматриваются некоторые топологические свойства (урысоновость, регулярность, вполне хаусдорфовость и др.). Изучаются проблемы характеристики $P$-минимальных и $P$-замкнутых пространств; вкладываемость $P$-пространств в $P$-минимальные или $P$-замкнутые пространства.

2. Д.С. Охезин (Екатеринбург). Монотонно насыщенные пространства. Исследуется класс пространств с ``достаточно богатым'' запасом монотонных функций (т.е. таких, что прообраз связного множества связен). В классе топологических многообразий и в классе полиэдров получены необходимые и достаточные условия того, что монотонными функциями разделяются точки пространства.

17 апреля

1. Т.Ф. Жураев. О метризуемости бикомпактов.

Теорема. Если $\lambda_3 X$ наследственно нормально, то бикомпакт $X$ метризуем.

2. В.И. Пономарев, И.Г. Тиняков. Борелевская классификация множеств в произведении ``двух стрелок'' Александрова на канторово совершенное множество.

Теорема. Каждое несчетное борелевское множество в произведении гильбертова кирпича на ``две стрелки'' Александрова борелевски изоморфно одному из следующих пространств: 1) канторову совершенному множеству $C$; 2) ``двум стрелкам'' $\overleftarrow{\overrightarrow X}$ Александрова; 3) дискретной сумме $C\oplus \overleftarrow{\overrightarrow X}$; 4) произведению $C\times \overleftarrow{\overrightarrow X}$. Перечисленные пространства попарно не изоморфны.

24 апреля

1. П.В. Семенов. Полиномиальные возмущения выпуклых множеств. Приведен пример многочлена девятой степени от двух переменных, функция невыпуклости графика которого тождественно равна единице, т.е. реализует максимально плохую возможность для невыпуклости в евклидовом пространстве.

2. И.В. Ященко. Об абсолютной нормальности тихоновских пространств.

15 мая

1. В.В. Федорчук. О тензорном произведении радоновских и $\tau$-аддитивных мер.

Теорема 1. Тензорное произведение радоновских вероятностных мер $\tau$-аддитивно.

Теорема 2. Тензорное произведение $\tau$-аддитивных вероятностных мер в паракомпактных $p$-пространствах $\tau$-аддитивно.

2. К.Дж. Ричардсон (Новая Зеландия). О резолюциях в смысле С. Ватсона.

К оглавлению номера  Go!