Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


УДК 511.36

О точных по высоте оценках для совместных приближений некоторых линейных форм / Галочкин А.И. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. N 5. C. 59-62.

Пусть $\mbox{\framn I}$ -- поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, $\varepsilon $ -- некоторый корень из единицы, поле $ {\mbox{\framn K}} = {\mbox{\framn I}}(\varepsilon )$. Для числа $\alpha \in{\mbox{\framn K}}$ обозначим через $\alpha ^{[\sigma ]},\quad \sigma =\overline {1,v}$, числа, сопряженные числу $\alpha $ в поле ${\mbox{\framn K}}$ относительно поля ${\mbox{\framn I}}$, для функции $f(z)\in {\mbox{\framn K}} [[ z ]] $ через $f^{[\sigma ]}(z),\quad \sigma =\overline {1,v}$, обозначим функции, в которых все коэффициенты степенного ряда $f(z)$ заменены на соответствующие сопряженные им числа в поле ${\mbox{\framn K}}$. Пусть

\begin{displaymath} \psi (z)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac {z^n}{a^{(s+1)n}n![\lam... ... \quad [\lambda +1,\,n]= (\lambda +1 ) \cdots (\lambda +n ), \end{displaymath}

где $a$, $ a\lambda _j \in {\mbox{\framn Z}_{\mbox{\frams I}}}\,,\quad \lambda _j \ne -1,\,-2, \dots\,$. В явном виде выписывается функция $\Phi (H)=H^{-s}(\log H)^{-c} (\log\log H)^{-d}$, для которой справедлива следующая

Теорема. Пусть $0\ne b \in {\mbox{\framn Z}_{\mbox{\frams I}}}$,

\begin{displaymath} R=\sum_{k=0}^s h_k \psi^{(k)}\Bigl(\frac {\varepsilon } b \... ...}}}, \quad \max_{k, \sigma } \vert h_k^{[\sigma ]}\vert=H>3. \end{displaymath}

Тогда справедливы следующие утверждения:
1) существует бесконечное множество форм $R$, таких, что $ \vert R\vert<C_1 \Phi (H) $;
2) для любой формы $R$ выполняется неравенство $ \max_{\sigma } \vert R^{[\sigma ]}\vert>C_2 \Phi (H), $ где положительные постоянные $C_1$ и $C_2$ не зависят от $H$.

Библиогр. 2.

К оглавлению номера  Go!