семинар по общей топологии


Научно-исследовательский семинар по общей топологии имеми П.С. Александрова / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. N 3 C. 71-76.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания осеннего семестра 1995/96 учебного года

14 сентября

1. А.В. Архангельский. О спрэде и уплотнениях.

Теорема. Если каждое дискретное подпространство пространства $C_p(X)$ счетно, то $C_p(X)$ можно уплотнить на тихоновское пространство, любая конечная степень которого наследственно сепарабельна.

Следствие. Если спрэд $C_p(X)$ счетен, то все компакты в $C_p(X)$ наследственно сепарабельны в любой конечной степени.

Вопрос. Пусть $Y$ -- подпространство тихоновского пространства $X$. Верно ли тогда, что спрэд $C_p(X)$ равен спрэду подпространства $C_p(Y\vert X)$, образованного сужениями на $Y$ непрерывных функций на $X$?

2. В.М. Караулов. О размерности непрерывных отображений произвольных пространств. Известные характеризации размерности $\dim$ топологических пространств, такие, как теоремы об $\omega$-отображениях, существенных отображениях, об отображениях в сферы, о перегородках, перенесены на размерность $\dim$ непрерывного отображения $f:X\to Y$ (необязательно тихоновских) пространств $X$ и $Y$. Установлены аналоги свойств монотонности размерности $\dim$ по $C^*$-вложенным, функционально открытым и $z$-вложенным подмножествам; теорема конечной суммы и теорема произведения для бикомпактов. Определена большая индуктивная размерность ${\rm Ind}$ для нормальных отображений; установлены соотношения между размерностями ${\rm Ind}, \dim$ и послойными размерностями ${\rm Ind}$ и $\dim$.

21 сентября

1. В.В. Федорчук, С. Тодорчевич (Канада). Ковариантные функторы бесконечной степени и число Суслина. Для любого бикомпакта $X$ доказано, что $c({\cal F}(X))=c(X^\omega)$, если функтор $\cal F$ является нормальным функтором бесконечной степени либо ${\cal F}=\lambda$.

2. Ю.Н. Миронова. О псевдокомпактных отображениях. Дается ряд определений псевдокомпактного (счетно компактного) непрерывного отображения, одно из которых имеет вид: отображение $f:X\to Y$ счетно компактно (псевдокомпактно), если для любого открытого в $Y$ множества $O$ и любой точки $y\in O$ для любой локально конечной (открытой) в $f^{-1}O$ системы $\lambda$ существует окрестность $Oy\subset O$ точки $y$, такая, что ее прообраз $f^{-1}Oy$ пересекается лишь с конечным числом элементов системы $\lambda$. Рассматриваются взаимосвязи между этими определениями. На отображения распространяется утверждение о совпадении псевдокомпактности и счетной компактности в классе нормальных пространств. Доказывается, что послойное произведение счетно компактного (псевдокомпактного) и (открытого) бикомпактного ($\equiv$ совершенного) отображений счетно компактно (псевдокомпактно).

28 сентября

1. А.А. Грызлов (Ижевск). О бикомпактных расширениях дискретных пространств. Рассматриваются некоторые типы точек в стоун-чеховских компактификациях дискретных пространств, в частности $p$-точки, 0-точки, матричные точки. Доказывается существование некоторых новых разновидностей слабых $p$-точек, например слабой $p$-точки, которая является предельной точкой некоторого множества с условием Суслина, состоящего из не 0-точек, но не является предельной точкой никакого множества с условием Суслина, состоящего из 0-точек.

2. Л.Б. Шапиро. Об одновременном продолжении частичных функций. Для топологических пространств $X$ и $Y$ через $P(X,Y)$ обозначается множество всех непрерывных отображений компактных подмножеств $X$ в $Y$. Каждое отображение отождествляется со своим графиком, лежащим в $X\times Y$. Множество $P(X,Y)$ наделяется топологией, индуцированной виеторисовой топологией пространства $\exp_c(X\times Y)$. Пространство $P(X,Y)$ изучалось в работах К. Куратовского, В.В. Филиппова и др. Основным результатом доклада является

Теорема. Пусть $X$ -- метрическое пространство, а $E$ -- действительное локально выпуклое секвенциально полное линейное топологическое пространство. Тогда существует непрерывное отображение $\Phi:P(X,E)\to C(X,E)$, удовлетворяющее условиям:

а) $\Phi(f)$ -- продолжение $f$;

б) значения $\Phi(f)$ лежат в замкнутой выпуклой оболочке множества значений $f$;

в)$\Phi$ линейно на множестве частичных функций с одинаковой областью определения.

В формулировке теоремы вместо метризуемого пространства $X$ можно рассматривать субметризуемое.

5 октября

1. С.А. Богатый. Топологический взгляд на одну проблему теории формальных рядов. Предложено необходимое условие существования итеративного корня формального голоморфного отображения в многомерном случае. Для каждого $k\geq 0$ представлен пример полиномиального отображения $(\mbox{\framn C}^2,0)$ в себя, имеющего итеративный квадратный $k$-гладкий корень, но не имеющего $(k+1)$-гладкого корня с заданным спектром.

2. С.И. Богатая, С.А. Богатый, Х. Штайнлайн (Германия). Расщепление орбит. На $(m(p-1)-1)$-мерной сфере с линейным свободным действием группы ${\bf Z}_p$ строится такое отображение $f:S^{m(p-1)-1}\to\mathbf{R}^{m+\frac{l-1}2}$, что для всякой точки $x\in S$ и всякого элемента $\sigma\in{\bf Z}_p$, $\sigma\ne e$, справедливо неравенство $f(x)\ne f(\sigma x)$.

12 октября

1. Р.Н. Виноградов. О трансфинитных размерностях частичных топологических произведений. Получены следующие оценки трансфинитных размерностей частичных произведений.

Теорема 1. Пусть $P$ есть частичное топологическое произведение $P(Y,\{Z_\alpha\},\{O_\alpha\};\ \alpha\in A)$, $A\ne\emptyset$, $Z_\alpha\ne\emptyset$ для всех $\alpha\in A$ и система множеств $\{O_\alpha:{\rm id}Z_\alpha\ne 0,\ \alpha\in A\}$ является локально конечной в пространстве $Y$. Тогда ${\rm id}P\leq\sup\{{\rm id}Y \mathbin{(+)}{\rm N}\Sigma \{ {\rm id}Z_\alpha:[O_\alpha]\ni y,\ \alpha\in A\}:y\in Y\}$.

Теорема 2. Пусть непрерывное отображение $f$ пространства $X$ в частичное топологическое произведение $P$ является $d$-правильным относительно этого произведения, $A\ne\emptyset$, $Z_\alpha\ne\emptyset$ для всех $\alpha\in A$ и система множеств $\{O_\alpha:{\rm Id}^*Z_\alpha\ne 0,\ \alpha\in A\}$ является равномерно локально конечной в пространстве $Y$. Тогда ${\rm Id}^*X\leq\sup\{{\rm Id}^*Y \mathbin{(+)}{\rm N}\Sigma \{ {\rm Id}^*Z_\alpha:[O_\alpha]\ni y,\ \alpha\in A\}:y\in Y\}$.

2. И.И. Швецова. О $({\cal E},\Omega)$-компактности отображений. Пусть $\cal E$ -- класс топологических пространств. Непрерывное отображение $f:X\to Y$ называется $\cal E$-компактным, если оно замкнуто вкладывается в проекцию частичного топологического произведения, все слои которого принадлежат классу $\cal E$. $\cal E$-компактное расширение $\tilde f:\tilde X\to Y$ отображения $f$ называется его максимальной $\cal E$-компактификацией, если для любых открытого в $Y$ множества $O$, $E\in{\cal E}$, и непрерывного отображения $\varphi:f^{-1}O\to E$ существует непрерывное продолжение $\tilde\varphi:\tilde f^{-1}O\to E$. Предложен способ построения максимальной $\cal E$-компактификации отображения $f:X\to Y$ при помощи ультрафильтров некоторых замкнутых подмножеств прообразов открытых в пространстве $Y$ множеств. Этот способ обобщает методы Волмэна и Гиллмана--Джерисона построения бикомпактификаций $\omega X$ и $\beta X$.

19 октября

1. А.Б. Скопенков. О вложимости компактов в плоскость. Найдены достаточные условия вложимости пеановских континуумов в плоскость (с использованием теоремы Клэйтора). Пример 3-адического соленоида показывает, что это условие не является достаточным для произвольных континуумов. Даны необходимые условия аппроксимируемости вложениями отображения графа в плоскость, которые нужны для применения спектрального критерия Штанько--Щепина вложимости компактов в $\mathbf{R}^2$.

2. Л.Б. Шапиро. О метризуемости пространств мер.

26 октября

1. Р.Н. Виноградов. Индуктивные трансфинитные размерности топологических произведений (предзащита диссертации).

2. А.И. Демин. Инварианты типа периода для одномерных динамических систем (предзащита диссертации).

2 ноября

1. Е.А. Резниченко, О.В. Сипачева, П. Гартсайд (Великобритания). Пространство с базой ранга  1 является ретрактом группы. База $\cal B$ топологии называется базой ранга  1, если любые два элемента этой базы не пересекаются либо один из них содержится в другом. Введен новый класс 2-мальцевских пространств, который содержится в классе пространств с непрерывной операцией Мальцева: $X$ называется 2-мальцевским, если существует непрерывное отображение $M:X^3\to X$, такое, что $M(x, y, z)\in \{x, z\}$ для любых $x, y, z\in X$.

Теорема 1. Всякое тихоновское пространство $X$, обладающее более слабой топологией с базой ранга  1, является 2-мальцевским.

Теорема 2. Если тихоновское пространство $(X, \tau )$ обладает более слабой топологией $\tau'$ с базой ранга  1 и $\tau$ имеет базу, состоящую из множеств, замкнутых относительно $\tau'$, то $(X, \tau )$ является ретрактом булевой топологической группы (и, следовательно, своей свободной абелевой топологической группы).

2. В.В. Успенский. Многообразия топологических групп и секвенциально непрерывные гомоморфизмы. А.В. Архангельский поставил следующий вопрос: совпадает ли многообразие топологических групп, порожденное всеми свободными топологическими группами над метрическими пространствами, с классом всех топологических групп? Если существуют вещественно измеримые кардиналы, то ответ оказывается отрицательным.

9 ноября

1. М.В. Матвеев. Об одном свойстве, близком к нормальности. Рассматривается следующее свойство топологического пространства $X$: (а) для любого открытого покрытия $\cal U$ и любого всюду плотного подпространства $Y\subset X$ найдется замкнутое в $X$ дискретное подпространство $A\subset Y$, такое, что ${\rm St} (A,{\cal U})=X.$ Несмотря на несхожесть определений, свойство (а) ведет себя как нормальность.

2. Е.А. Резниченко. О мальцевских пространствах.

16 ноября

1. А.В. Архангельский. Некоторые варианты теоремы Гротендика.

2. Б.А. Пасынков. О метризуемых отображениях. Обсуждаются варианты определения метризуемости непрерывного отображения $f:X\to Y$. В частности, отображение $f$ называется: 1) тривиально метризуемым (ТМ), если оно вложимо в проекцию произведения метризуемого пространства $Z$ на $Y$; 2) локально ТМ, если существует такое открытое покрытие $\omega$ пространства $Y$, что отображение $f:f^{-1}O\to O$ является ТМ для всех $O\in\omega$; 3) элементарно частично метризуемым (ЧМ), если оно вложимо в проекцию элементарного частичного топологического произведения (ЧТП) с метризуемым слоем; 4) счетно ЧМ (А.Ю. Зубов), если оно вложимо в проекцию ЧТП со счетным числом метризуемых слоев; 5) ($\sigma$-) локально (звездно или точечно) конечно (точечно счетно) ЧМ, если оно вложимо в проекцию ЧТП $P(Y,\{Z_\alpha\},\{O_\alpha\};\ \alpha\in A)$, все слои $Z_\alpha$ которого метризуемы, а система $\{O_\alpha:\alpha\in A\}$ является ($\sigma$-) локально (звездно или точечно) конечной (точечно счетной) в $Y$.

23 ноября

1. О.И. Павлов. Об уплотнениях степеней тихоновских пространств. Любое тихоновское непсевдокомпактное пространство, мощность которого меньше первого измеримого по Уламу кардинала $\mu$, в сколь угодно большой степени уплотняется на тихоновское $\sigma$-компактное пространство. Существует тихоновское непсевдокомпактное пространство, мощность которого равна $\mu$ и которое ни в какой степени не уплотняется на нормальное пространство. Существует тихоновское пространство мощности $\aleph_2$, которое в любой степени псевдокомпактно и ни в какой степени не уплотняется на счетно компактное пространство.

2. А.В. Ушаков. О совпадении веса и сетевого веса для $p$-отображений. Отделимо бикомпактифицирумое отображение $f:X\to Y$ назовем $p$-отображением, если $X$ обладает оперением в $X'$ для какой-нибудь бикомпактификации $f' : X' \to Y'$ отображения $f$.

Теорема 1. Пусть $f:X\to Y$ есть $p$-отображение, $nw(f) = \tau$ и

$(*)_\tau$ для любого $Z \subset Y$ в любое покрытие $Z$ открытыми в $Y$ множествами можно вписать $\tau$-дизъюнктное покрытие $Z$ открытыми в $Y$ множествами.

Тогда $nw(f) = w(f)$ ($= W'(f)$ для тихоновского $f$; $= W(f)$), если $f$ параллельно тихоновскому пространству.

Теорема 2. Пусть $p$-отображение $f:X\to Y$ есть объединение $\leq \tau$ своих подотображений сетевого веса $\leq \tau$ и выполнено условие $(*)_\tau$. Тогда $w(f) \leq \tau$ $W'(f) \leq \tau$ для тихоновского $f$; $W(f) \leq \tau$, если $f$ параллельно тихоновскому пространству.

30 ноября

1. С.В. Людковский. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств. Пусть $L$ -- неархимедово локально компактное поле нулевой характеристики, $X$ -- ультраравномерное пространство, $c_0(L,{\fam\gothicfambf m})$ -- банахово пространство с векторами ${\bf x} = (x_a \in L : a \in {\fam\gothicfambf m})$, где ${\fam\gothicfambf m}$ -- ординал, и нормой $\Vert{\bf x}\Vert = \sup_a \vert x_a\vert$, причем для любого $b > 0$ множество $\{a : \vert x_a\vert > b\}$ конечно. Полиэдром $P$ в $c_0(L,{\fam\gothicfambf m})$ назовем дизъюнктное объединение симплексов $s_j$, $s_j = B(c_0(L,{\fam\gothicfambf m}),x_j,r_j)$ -- открыто-замкнутые шары в $c_0(L,{\fam\gothicfambf m})$ радиусов $r_j > 0$, $x_j\in s_j$. Полиэдр называется равномерным сверху, если $\sup_j {\rm diam} s_j < \infty$. В отличие от классического случая в определениях спектральных разложений накладываются условия $L$-линейности.

Теорема. Каждое ультраравномерное пространство $X$ имеет неприводимое абсолютное (нормальное и равномерное сверху) полиэдральное представление $T = \{X_\beta,f^\beta_\alpha,U\}$ над $L$, т.е. для любого подпространства $Y$ в пополнении $X$ существует направленное подмножество $U(Y)$ в $Y$, такое, что $Y$ гомеоморфно (равномерно изоморфно соответственно) ${\mathop{\rm lim}\limits_{\textstyle\longleftarrow}}_{U(Y)} T$. Более того, в качестве абсолютного полиэдрального представления (необязательно равномерного) могут быть выбраны локально конечномерные комплексы $X_\beta$ над $L$.

2. Е.В. Моисеев (Петрозаводск). К вопросу о равномерной связности пространств. Дается необходимое и достаточное условие, при котором равномерно связные пространства являются абсолютными ретрактами.

7 декабря

1. В.В. Федорчук, С. Тодорчевич (Канада). О мультипликативности клеточности ковариантных функторов конечной степени. Строятся следующие примеры:

1) ковариантный функтор ${\cal F}: {\bf Comp}\to {\bf Comp},$ удовлетворяющий всем условиям нормальности кроме сохранения точки и веса, для которого при некотором $n$ имеет место неравенство

\begin{displaymath}c({\cal F}_n(X))> c(X^n) c({\cal F}(n));\end{displaymath}

2) ковариантный функтор ${\cal F}: {\bf Comp}\to {\bf Comp} $ степени 2, удовлетворяющий всем условиям нормальности кроме сохранения веса, для которого

\begin{displaymath}c(X^2\times {\cal F}(2))> c(X^2) c({\cal F}(2)).\end{displaymath}

2. Д. Реповш (Словения), А.Б. Скопенков, Е.В. Щепин. Вокруг гипотезы Гильберта-Смита. Общая версия пятой проблемы Гильберта, называемой также гипотезой Гильберта-Смита, утверждает, что среди локально компактных групп только группы Ли могут действовать эффективно на многообразии. В докладе приводятся недавние результаты Малешича и авторов: 1) простое доказательство гипотезы Гильберта-Смита для действий диффеоморфизмами (впервые доказано в 1946 г. Бохнером и Монтгомери при помощи более сложной техники); 2) построение липшицево объемлемо однородных фракталов в $\mathbf{R}^n$, не являющихся липшицевыми подмногообразиями; 3) доказательство гипотезы Гильберта-Смита для действий липшицевыми гомеоморфизмами.

14 декабря

1. А.А. Грызлов (Ижевск). О некоторых типах слабых $p$-точек.

2. В.А. Чатырко. О трансфинитной размерности $\dim$ и существенных отображениях. Пусть $X$ -- пространство со счетной базой, $C$ -- канторово совершенное множество, $H^\alpha$, $\alpha<\omega_1$, -- компакты Хендерсона, а ${\rm tr}\,\dim$ -- трансфинитное продолжение Борста размерности Лебега $\dim$.

Теорема 1. Если ${\rm tr}\,\dim X\geq\omega$, то ${\rm tr}\,\dim X={\rm tr}\,\dim X\times C$.

Теорема 2. Если $\alpha$ -- счетный ординал $\geq\omega^2$, то ${\rm tr}\,\dim X\geq\alpha$ в том и только в том случае, когда $X\times C$ допускает существенное отображение на $H^\alpha$.

Заседания весеннего семестра 1995/96 учебного года

15 февраля

1. М.М. Заричный (Львов). О мягких гомоморфизмах топологических групп. Доказано, что для любой топологической группы $H$, являющейся $\Sigma$-многообразием, существуют топологическая группа $G$, являющаяся $\sigma$-многообразием, и гомоморфизм $f : G \to H$, мягкий в классе сильно счетномерных пространств.

2. Б.А. Пасынков. О $\tau$-клеточности $\tau$-линделефовых групп. Пространство $\tau$-линделефово, если любое его открытое покрытие обладает подпокрытием мощности $\leq \tau$.

Для $\tau$-линделефовой группы $G$ всегда имеет место неравенство ${\rm cel}_\tau(G)\leq\exp\tau$. В частности, для линделефовой группы $G$ всегда ${\rm cel}_\omega(G)\leq{\fam\gothicfambf c}$.

22 февраля

1. Йоже Малешич (Словения). О канторовых множествах, липшицево однородно вложенных в метрическое пространство. Приводятся достаточные условия того, что данное канторово множество липшицево однородно вложимо в метрическое пространство. Например, стандартное тернарное канторово множество, лежащее на оси $Ox$, является билипшицево однородным в $\mathbf{R}^2$.

2. П.В. Семенов. Метрическая версия теории селекций. Доказаны теоремы о локальном продолжении селекций с бесконечномерной базой при локальном метрическом контроле за невыпуклостью значений полунепрерывного снизу отображения.

29 февраля

1. С.А. Богатый. Непрерывные итеративные корни ростков голоморфных отображений. Показано, что сравнения Забрейко-Красносельского-Штайнлайна индексов итераций неподвижной точки препятствуют существованию непрерывных итеративных корней. Полученные препятствия совпадают с препятствиями для существования голоморфных итеративных корней, которые получаются из рассмотрения нормальной формы Пуанкаре-Дюлака голоморфного ростка. Теорема Камачо о топологической классификации голоморфных ростков позволяет установить, что в отличие от голоморфного случая в непрерывном случае полученные препятствия образуют полную систему препятствий.

2. П.В. Семенов. Неподвижные точки невыпуклозначных сжатий.

14 марта

1. С.А. Антонян (Армения). Экстензорные свойства пространства орбит. Пусть $G$ -- компактная хаусдорфова группа, $N \triangleleft G$ -- замкнутый нормальный делитель, а $X$ -- произвольное $G$-пространство с метризуемыми орбитами. Тогда если $X$ является $G$-A(N)E для метризуемых $G$-пространств, то $X/N$ также является $G$-A(N)E для метризуемых $G$-пространств. В частности, $X/G$ является A(N)E для метризуемых пространств. Отсюда выводится, что функтор $n$-симметрической степени $SP_G^n$ сохраняет свойство топологического пространства быть A(N)E для метризуемых пространств. Аналогичные результаты имеют место и в конечной размерности $k\geq 0$, т.е. для $G$-A(N)E($k$)- и A(N)E($k$)-пространств.

2. В.И. Малыхин. Еще одна слабая форма аксиомы Мартина. В совместной работе А.Белла (Италия) и автора введена еще одна слабая форма аксиомы Мартина MA, а именно MA[Top. groups]: не разлагается в сумму менее ${\fam\gothicfambf c}$ любая хаусдорфова топологическая группа, которая удовлетворяет условию Суслина, имеет характер менее ${\fam\gothicfambf c}$ и полна относительно своей равномерной структуры. MA сильнее аксомы MA[Top. groups], которая сильнее самой слабой известной формы MA -- так называемой аксиомы Мартина для счетных множеств MAC. Неизвестно, влечет ли MA[Top. groups] ограничения на кардинальную арифметику.

21 марта

1. А.В. Карасев. Об индуктивной размерности подмножеств некоторых неметризуемых многообразий. Исследуются замкнутые подмножества многообразий вида $M_n\times L$, где $M_n$ -- компактное $n$-многообразие, $L$ -- ``длинная'' прямая. Доказываются следующие утверждения.

Предложение 1. Для каждого замкнутого подмножества $Y$ многообразия $M_n\times L$ из ${\rm ind}Y=0$ следует ${\rm Ind}Y=0$.

Предложение 2 (MA (аксиома Мартина) + $\neg$CH). Из ${\rm ind}Y=n$ следует ${\rm Ind}Y=n$.

2. Д.В. Малыхин. О $\nabla$-нормальных пространствах. Пространство называется $\nabla$-нормальным, если его квадрат без диагонали нормален. Доказано, что любое счетно компактное $\nabla$-нормальное пространство имеет счетный характер. Тем самым получен ответ на вопрос А.В. Архангельского и А.П. Комбарова (1990).

28 марта

Л. Гурневич (Польша). Приложения многозначных отображений к обыкновенным дифференциальным уравнениям. При отсутствии единственности решения задачи Коши ряд возникающих из-за этого трудностей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений может быть преодолен за счет рассмотрения многозначных отображений. В докладе показано, что это дает для теории краевых задач.

4 апреля

1. В.В. Федорчук, Ю.В. Садовничий. О некоторых категорных свойствах равномерных пространств вероятностных мер. Изучается функтор $P^u_\beta: {\bf Unif} \to {\bf Unif}$ равномерных пространств вероятностных мер. Показано, что существует единственное естественное проебразование $T: S\circ P^u_\beta \to P\circ S$, где $S: {\bf Unif}\to {\bf cUnif}$ -- функтор пополнения Сэмюэля по прекомпактной равномерности. Первый основной результат настоящей работы: для равномерного пространства $(X,{\cal U})$ компонента $T_{\cal U}$ этого естественного преобразования $T$ есть гомеоморфизм тогда и только тогда, когда $\cal U$ -- прекомпактная равномерность. Второй основной результат: не существует вложения $U: {\bf Tych}\to {\bf Unif}$, такого, что $P^u_\beta\circ U= U\circ P_\beta$.

2. Е.В. Щепин. Конечномерная теорема селекции.

11 апреля

В.И. Малыхин. Борелевская разложимость бикомпактов и их подпространств. Пространство называется борелевски разложимым, если оно имеет два дизъюнктных плотных подмножества, каждое из которых принадлежит $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств этого пространства. Рассматривается борелевская разложимость бикомпактов, пространств, полных по Бэру, и некоторых подпространств тихоновских кубов. Формулируется несколько нерешенных проблем.

18 апреля

1. С.А. Богатый. Гипотеза Кнастера, теорема Борсука-Улама и циклические системы. Предложено обобщение известной теоремы Борсука-Улама о склейке при отображении $f: X\to \mathbf{R}^m$ орбиты заданного действия группы ${\bf Z}_p$. В полученных теоремах образ некоторой орбиты удовлетворяет заранее заданной циклически инвариантной (близкой к циклически инвариантной) системе линейных однородных уравнений с нулевой суммой коэффициентов.

2. Д.В. Малыхин. О пространствах графов.

25 апреля

1. С.А. Богатый. О реализации локальных индексов в $\mbox{\framn C}^3$. С помощью теоремы Бернштейна-Кушниренко-Хованского, оценивающей кратность нуля в терминах многогранников Ньютона, построены серии отображений, реализующих некоторые заданные последовательности целых чисел индексами итераций неподвижной точки.

2. В.В. Филиппов. О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений. Развивается подход к теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, пригодный к исследованию уравнений с разрывной правой частью.

16 мая

1. С.А. Богатый, О.Ю. Валов. Элементарное доказательство теоремы о ранге циклически инвариантной матрицы. Дано элементарное доказательство теоремы о том, что ранг циклически инвариантной матрицы порядка $p\times p$ с нулевой суммой элементов четен.

2. С.А. Дроздовский. Обобщение пространства функций $C_s(U)$. Построена топологическая структура на множестве непрерывных функций, определенных на различных связных подмножествах действительной прямой, которая обобщает пространство $C_s(U)$ и ряд других топологических пространств, применявшихся в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полученного пространства доказаны утверждения об обобщенной метризуемости и метризуемости.

К оглавлению номера  Go!