УДК 511.3
Об асимптотическом поведении сумм, связанных с дробями Фарея / Бояринов Р.Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика.
C. 51-53.
В работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.
Для любой функции из класса Липшица степени
справедлива оценка
![\begin{displaymath}
R_N\ll\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)
\left(\frac{\ln N}{\sqrt N}\right)^\alpha \,.
\end{displaymath}](img16.gif)
Теорема 2.
Для любой гладкой функции имеет место неравенство
![\begin{displaymath}
R_N\ll\frac{ e^{-c(\ln N)^{0.6}(\ln\ln N)^{-0.2}}}{\sqrt{N...
...=\Omega\left(\frac{\sqrt{\ln\ln N}}{N^\frac{3}{4}}\right) \,.
\end{displaymath}](img17.gif)
Функцию
![$g(t) \in C^1[0,\infty)$](img18.gif)
![$ \frac{g'(t)}{g(t)}=o\left(\frac{1}{t}\right)\ (t\to\infty)$](img19.gif)
Теорема 3.
В классе интегрируемых по Риману в собственном смысле
функций при и
нельзя получить оценки остатков:
![\begin{displaymath}
R_M(f,\{y_s\})=O\left(\frac{1}{g(M)}\right)\quad
(\,g(M)\to\infty \,\,\mbox{\it при} \quad M\to\infty\,) ,
\end{displaymath}](img22.gif)
![\begin{displaymath}
R_N=O\left(\frac{1}{g(N)}\right)\quad
(\,g(N)\to\infty \,\,\mbox{\it при} \quad N\to\infty\,) ,
\end{displaymath}](img23.gif)
где
![$\{y_s\}$](img24.gif)
![$g(x)$](img25.gif)
Библиогр. 4.