Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


УДК 511.3

Об асимптотическом поведении сумм, связанных с дробями Фарея / Бояринов Р.Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. N 3 C. 51-53.

В работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Для любой функции из класса Липшица степени $0<\alpha <1$ справедлива оценка

\begin{displaymath} R_N\ll\left(\frac{1}{1-\alpha}\right) \left(\frac{\ln N}{\sqrt N}\right)^\alpha \,. \end{displaymath}

Теорема 2. Для любой гладкой функции имеет место неравенство

\begin{displaymath} R_N\ll\frac{ e^{-c(\ln N)^{0.6}(\ln\ln N)^{-0.2}}}{\sqrt{N... ...=\Omega\left(\frac{\sqrt{\ln\ln N}}{N^\frac{3}{4}}\right) \,. \end{displaymath}

Функцию $g(t) \in C^1[0,\infty)$ называют медленно растущей, если $ \frac{g'(t)}{g(t)}=o\left(\frac{1}{t}\right)\ (t\to\infty)$.

Теорема 3. В классе интегрируемых по Риману в собственном смысле функций при $N\to\infty$ и $M\to\infty$ нельзя получить оценки остатков:

\begin{displaymath} R_M(f,\{y_s\})=O\left(\frac{1}{g(M)}\right)\quad (\,g(M)\to\infty \,\,\mbox{\it при} \quad M\to\infty\,) , \end{displaymath}


\begin{displaymath} R_N=O\left(\frac{1}{g(N)}\right)\quad (\,g(N)\to\infty \,\,\mbox{\it при} \quad N\to\infty\,) , \end{displaymath}

где $\{y_s\}$ -- любая равномерно распределенная последовательность по модулю 1 и функция $g(x)$ либо растет не медленнее степенной, либо является медленно растущей.

Библиогр. 4.

К оглавлению номера  Go!