Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С. Александрова (заседания весеннего семестра 1994/95 учебного года) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. C. 68-70.
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)
Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)
Заседания весеннего семестра 1994/95 учебного года
9 февраля
1. В.В. Федорчук О международной конференции по теоретико-множественной топологии и ее приложениям в Мацуяме (Япония).
2. Ю.В. Садовничий О метрических и равномерных пространствах вероятностных мер (предзащита диссертации).
16 февраля
1. В.В. Филиппов О периодических решениях и разрешимости задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
2. Е. А. Резниченко, В. В. Успенский Псевдокомпактные мальцевские пространства. Доказано, что для мальцевского псевдокомпактного пространства компакт является компактом Дугунджи. Попутно получены следующие результаты: если -- счетно компактное пространство с раздельно непрерывной операцией Мальцева, то -- компакт Дугунджи, а если -- псевдокомпактное пространство и -- непрерывная функция, то продолжается до раздельно непрерывной функции .
2 марта
1. Р.З. Бузякова О компактах, расщепляемых над классом всех линейно упорядоченных пространств. Доказано, что континуум, расщепляемый над классом всех линейно упорядоченных пространств, является линейно упорядоченным пространством. Тем самым дан частичный ответ на вопрос А.В.Архангельского: всегда ли компакт, расщепляемый над классом всех линейно упорядоченных пространств, линейно упорядочиваем? Также доказано, что для континуумов мощности из расщепляемости над линейно упорядоченным пространством следует существование вложения в .
2. Р.З. Бузякова Расщепляемость и образы декартовых произведений при уплотнениях (предзащита диссертации).
3. В.В. Федорчук, А.В. Архангельский Об уплотнениях счетно компактных пространств на бикомпакты. Описана конструкция, позволяющая построить широкий класс нормальных счетно компактных пространств с первой аксиомой счетности, не уплотняемых на бикомпакты.
9 марта
1. П.В. Семенов, Д.Реповш (Словения) Непрерывный выбор в определениях типа непрерывности. Доказано, что в обычном определении непрерывности отображения между метрическими пространствами и можно считать непрерывной функцией от , , . Аналогичный факт доказан для модуля локальной стягиваемости метризуемого пространства. В последнем случае , где , -- метрика на , . Использованы селекционные теоремы для не полунепрерывных снизу отображений.
2. А.П. Комбаров О расширяемых дискретных системах подпространств произведений. -пространство обладает свойством (соответственно ), если каждая дискретная система замкнутых счетных множеств (соответственно одноточечных множеств) расширяется до локально конечной системы открытых множеств. Если во всяком бесконечном замкнутом дискретном подмножестве содержится бесконечное расширяемое подмножество, то обладает свойством . Доказываются аналоги известной теоремы Катетова. Если произведение обладает свойством наследственно, а пространство регулярно и содержит счетное незамкнутое множество, то всякое счетное замкнутое подмножество является -множеством. Если любое -множество в дополнении до каждой точки произведения обладает свойством (соответственно ), пространство регулярно и содержит счетное незамкнутое множество (соответственно счетное незамкнутое дискретное множество), то псевдохарактер счетен. Если дополнение до любой точки произведения обладает свойством (соответственно ), в пространстве содержится незамкнутое счетное подмножество с единственной предельной точкой (соответственно содержит ), то псевдохарактер также счетен. Нетривиальные - и -произведения являются примерами пространств, дополнения до точек которых не обладают свойством .
16 марта
1. П.В. Семенов Непрерывные селекции не полунепрерывных снизу отображений. Доказана селекционная теорема для квазиполунепрерывных снизу отображений с паравыпуклыми значениями. Квазиполунепрерывностью снизу гарантируется наличие полунепрерывной снизу селекции, значения которой, вообще говоря, могут не быть паравыпуклыми.
2. А.В. Одиноков Пространства Дугунджи с несовпадающими размерностями.
Теорема [CH]. Для любого счетного, отличного от нуля порядкового числа существует пространство Дугунджи размерности и .
23 марта
1. В.А. Чатырко Об аксиоматике размерности Хендерсона в классе слабо счетномерных компактов. Пусть -- конечнозначная размерностная функция, -- ее трансфинитное продолжение. Аксиоматики и функций и называются согласованными, если . Приводятся согласованные аксиоматики и в классе слабо счетномерных компактов.
2. Д.В. Малыхин Об уплотнениях и расщеплениях над хаусдорфовыми пространствами.
Теорема. Для любого тихоновского пространства найдутся тихоновское пространство и подмножества и , такие, что:
1) пространство сохраняет свойства типа компактности и нормальность пространства ;
2) если непрерывное сюръективное отображение расщепляет вдоль и пространство хаусдорфово, то содержит открыто-замкнутую копию пространства ;
3) если непрерывное сюръективное отображение расщепляет вдоль и пространство хаусдорфово, то содержит замкнутую копию пространства .
30 марта
1. Н.Б. Бродский Регулярные отображения многообразий. Отображение называется -регулярным в точке , если для любой открытой окрестности точки существуют открытые окрестности и точек и , такие, что для всякого отображения , где и -- единичный шар в при , найдется отображение , такое, что .
Теорема. Если является -регулярным () отображением многообразий, то бесконечно регулярно в точке при выполнении одного из следующих условий: и ; , и -- аппроксимативное -расслоение; , , и -- аппроксимативное -расслоение; , и -- -расслоение; , , и -- -расслоение.
2. А.В. Карасев О размерности некоторых подмножеств многообразий.
6 апреля
1. А.А. Борубаев (Бишкек) Об оригиналах равномерных пространств. Рассматривается категория , объектами которой служат пары , где -- множество, а -- база некоторой равномерности на , а морфизмами -- такие отображения ``на'' , что . Объект категории называется оригиналом объекта , если: 1) существует морфизм ; 2) всякий морфизм является изоморфизмом. Доказывается, что для каждого объекта категории существует единственный оригинал и оригиналы и только они являются проективными объектами категории . Если база является равномерностью, то объект называется оригиналом равномерного пространства . Два равномерных пространства и называются сооригинальными, если их оригиналы изоморфны. Доказывается, что если пространства и сооригинальны и одно из них полно (соответственно предкомпактно, -ограничено), то и другое является таким же. Устанавливаются другие свойства оригиналов.
2. М.М. Заричный (Львов) Универсальные отображения и абсорберы, связанные с лебеговой и когомологической размерностью. Доказано существование поглощающих множеств в смысле Бествины и Могильского для классов сепарабельных метрических пространств, на которые наложены размерностные условия (например, (сильная) счетномерность, конечная когомологическая размерность и т.п.), а также ограничения их борелевского типа. В доказательствах используются теоремы существования универсальных отображений, повышающих размерность.
13 апреля
1. А.В. Островский (Санкт-Петербург) О некоторых новых результатах, связанных с проблемами Майкла. В докладе дается история некоторых проблем Майкла об индуктивной совершенности -накрывающих, -накрывающих и трифакторных отображений. Сообщается о недавних результатах Г. Дебса и Ж. Сен-Реймона.
2. О.И. Павлов Об уплотнениях тихоновских произведений. Для произвольного тихоновского пространства существует такое тихоновское пространство , что любой хаусдорфов образ при уплотнении пространства содержит в качестве замкнутого подмножества копию пространства . Если -- конечный кардинал, то указанное включение -- открыто замкнутое. При этом обладает каким-либо из свойств: (слабой) нормальностью, коллективной нормальностью или хаусдорфовостью, паракомпактностью, псевдокомпактностью, вещественной полнотой, свойством , , если и только если этим свойством обладает пространство . Для любого тихоновского недискретного пространства существует такое коллективно нормальное пространство , что тихоновское произведение не уплотняется на нормальное пространство. Для любого тихоновского бесконечного (нульмерного) пространства веса тихоновский (канторов) куб веса можно разбить на непересекающихся копий пространства .
20 апреля
1. В.В. Федорчук Несколько замечаний о числе Суслина и ковариантных функторах.
2. И.Г. Тиняков Борелевская классификация борелевских множеств в произведении двух стрелок и канторова совершенного множества.
Теорема. Каждое борелевское множество в произведении ``двух стрелок'' Александрова и канторова совершенного множества либо счетно, либо -изоморфно канторову множеству, либо -изоморфно ``двум стрелкам'', либо -изоморфно дискретной сумме ``двух стрелок'' и канторова множества, либо -изоморфно произведению ``двух стрелок'' и канторова множества.
27 апреля
1. Р. Коти (Франция) Стягиваемые группы и теория ретрактов.
2. А.П. Комбаров О свойстве в -оболочках. -пространство обладает свойством , если во всяком его бесконечном замкнутом дискретном подмножестве содержится бесконечное подмножество, которое расширяется до локально конечной системы открытых множеств. Если , где все неодноточечны, и , то для каждой точки из определено множество индексов . Пусть -- бесконечный кардинал. Подпространство произведения называется -оболочкой пространств . В случае (соответственно ) получаем -произведение (соответственно -произведение) пространств . Если -- -оболочка неодноточечных пространств , , и , то подпространство не обладает свойством для любой точки . В то же время известно, что если множество замкнуто в -оболочке и , то является не нормальным подпространством . Неизвестно, можно ли усилить последнее утверждение и доказать, что не является -пространством в этом случае.
4 мая
1. Б.А. Пасынков О размерности равномерных пространств. Для равномерного пространства считается, что и , , если в любое равномерное покрытие этого пространства можно вписать его равномерное покрытие так, что для любого . (Эту размерность независимо рассматривал также C. Илиадис.) Равномерное пространство назовем -факторизуемым, если для любой непрерывной функции существуют такие метрическое пространство , равномерное непрерывное отображение и непрерывная функция , что . Оказывается, если пространство обладает базой из счетных покрытий и -факторизуемо, то из следует . Отсюда вытекает, что для -факторизуемой топологической группы соотношения и равносильны (результат Д. Б. Шахматова).
2. Е.А. Резниченко Продолжение функций с произведений псевдокомпактных пространств. Рассматриваются условия, при которых вещественная (раздельно) непрерывная функция продолжается до раздельно непрерывной функции .
11 мая
1. С.Д. Илиадис (Греция) Отображения и универсальность.
2. В.В. Федорчук О числе Суслина пространств вероятностных мер. С помощью одной старой комбинаторной теоремы Ф. Холла доказывается, что для любого бикомпакта .