Родился 19 ноября 1949 года в г. Смоленске. В 1972 году окончил механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова и в этом же году поступил в аспирантуру. В 1976 году закончил аспирантуру и был зачислен на должность ассистента кафедры ТФФА. С 1991 года работает в должности профессора этой кафедры. В 1976 году защитил кандидатскую диссертацию, в 1987 году докторскую. В 1983 году за работы по теории дифференциальных операторов был удостоен премии Московского Комсомола, в 2001 году за цикл работ «Теория операторов в пространстве с индефинитной метрикой и ее приложения» удостоен Ломоносовской премии 1-ой степени. В 2019 году избран членом-корреспондентом РАН. В числе учеников А.А.Шкаликова 20 кандидатов наук и 3 доктора наук.
Область научных интересов: теория операторов общих и дифференциальных (обыкновенных и с частными производными), операторные модели в задачах гидромеханики и теории упругости, теория операторных матриц и пучков, асимптотическая теория для дифференциальных уравнений, обратные задачи спектральной теории. Решил ряд известных проблем в указанных областях. Доказал полноту собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с распадающимися краевыми условиями (проблема М.В.Келдыша, 1951). Дал первое аналитическое обоснование явления «Язык Гейзенберга» для предельного поведения спектра при больших числах Рейнольдса для задачи Орра-Зоммерфельда в гидромеханике. Нашел первые корректные реализации (корректные операторные трактовки) краевых задач для уравнений с полиномиальным вхождением спектрального параметра. Доказал общие теоремы об инвариантных подпространствах для операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Совместно с Ф.Аткинсоном, Г.Лангером и Р.Меникеном получил первые результаты по теории операторных матриц (эти работы стали базой для новой теории). Совместно со своим учеником А.М.Савчуком получил первые равномерные оценки о стабильности решений классических обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля. Работы А.А.Шкаликова и его учеников были первыми и послужили источником активно развивающейся теории сингулярных дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями.
На механико-математическом факультете под руководством А.А.Шкаликова работает научно-исследовательский семинар по теории операторов. Участники семинара поддержаны грантом Российского научного фонда и грантами Российского фонда фундаментальных исследований. А.А.Шкаликов и его ученики поддерживают контакты с зарубежными специалистами (математиками Германии, Великобритании, Канады, Италии, Швеции).
Список публикаций на Math-Net.