В 1935 г. поступил на механико-математический факультет Московского университета. Окончив университет в 1940 г., поступил в аспирантуру к М.А. Лаврентьеву. Участвовал в Великой отечественной войне в составе народного ополчения, воевал под Вязьмой и Можайском. В ноябре 1941 года, когда обнаружилось, что у него вместо ступни протез, был демобилизован. Продолжил занятия в аспирантуре под руководством Д.Е.Меньшова и А.И. Маркушевича. В 1944 г. защитил кандидатскую диссертацию. Работал в Московском энергетическом институте, в Издательстве иностранной литературы (издательстве «Мир»). В 1957 г. начал работать на кафедре теории функций и функционального анализа мехмата МГУ, сначала доцентом, а с 1962 г. – профессором. В 1962 г. защитил докторскую диссертацию «Нелинейные гиперболические и пространственные задачи теории квазиконформных отображений». Сыновья Б.В.Шабата – Алексей Борисович (р.1937) и Георгий Борисович (р.1952) – известные математики.
Основными направлениями научных исследований Б.В.Шабата были теория квазиконформных отображений и многомерный комплексный анализ. С 1964 г. руководил семинаром по многомерному комплексному анализу на мехмате МГУ ( совместно с А.Г. Витушкиным и А.А. Гончаром). Читал основной курс теории функций комплексного переменного, а также специальные курсы по квазиконформным отображениям, геометрическим методам комплексного анализа, многомерному комплексному анализу, применениям комплексного анализа в механике.
Б.В.Шабат – автор монографий «Распределение значений голоморфных отображений», «Методы теории функций комплексного переменного» (совместно с М. А. Лаврентьевым), «Проблемы гидродинамики и их математические модели» (совместно с М. А. Лаврентьевым) и учебников "Введение в комплексный анализ" (в 2-х частях), "Функции комплексного переменного и некоторые их приложения" (совместно с Б. А. Фуксом). Под руководством Б.В. Шабата защищены 16 кандидатских диссертации, 4 его ученика стали докторами наук ( В.А.Зорич, С.И.Пинчук, А.Садуллаев, чл.-корр. РАН Е.М.Чирка).
Скончался 23 июля 1987 года, похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.
Юбилейная статья в «Успехах математических наук» к 70-летию.
Воспоминания Б.В.Шабата о военных годах
Воспоминания Г.Б.Шабата об отце.
Список учеников Б.В.Шабата (уточняется).