Программа курса «Действительный анализ».
Мех-мат. 2 курс, 1 поток, весна 2010/11 уч.г.
Лектор -- д.ф.-м.н., профессор М.И. Дьяченко.

  1. Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, σ-алгебры и т.д.). Минимальные кольца и их свойства. Связь между σ-кольцами и δ-кольцами.
  2. Меры на полукольцах. Классическая мера Лебега на полукольце промежутков в Rn и ее σ-аддитивность.
  3. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо.
  4. Внешние меры Лебега и Жордана. Их полуаддитивность.
  5. Меры Лебега и Жордана. Их свойства.
  6. Связь σ-аддитивности и непрерывности. Полнота мер.
  7. Меры Лебега -- Стилтьеса на прямой. Мера Бореля.
  8. σ-конечные меры.
  9. Теорема о существовании неизмеримого подмножества в любом измеримом, относительно классической меры Лебега, множестве положительной меры.
  10. Измеримые функции. Их арифметические свойства. Измеримость функции g (f(x)), где f – непрерывная, а g – измеримая функции.
  11. Измеримые функции и предельный переход. Теорема об измеримости производной непрерывной функции.
  12. Сходимость по мере и ее свойства.
  13. Сходимость почти всюду. Критерий этой сходимости на множествах конечной меры.
  14. Связь между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.
  15. Теорема Егорова. Теорема Лузина (б/д).
  16. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.
  17. Определение интеграла Лебега в общем случае. Лемма о приближении измеримой неотрицательной функции монотонной последовательностью простых функций.
  18. Линейность интеграла Лебега по функции и по множеству для неотрицательных функций. Линейность интеграла Лебега относительно умножения на константу.
  19. Линейность интеграла Лебега по функции в общем случае. Интегрирование неравенств.
  20. Теорема Леви о предельном переходе и ее следствия.
  21. Теоремы Фату и Лебега.
  22. Линейность интеграла Лебега по множеству. Неравенство Чебышева и его следствие.
  23. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
  24. Критерий интегрируемости по Лебегу на множестве конечной меры.
  25. Связь между интегралами Римана и Лебега на отрезке в Rn.
  26. Заряды. Разложения Хана и Жордана.
  27. Теорема Радона - Никодима.
  28. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства Lp.
  29. Полнота пространств Lp.
  30. Представление интеграла от p-той степени функции c помощью функции распределения.
  31. Теорема о плотных множествах функций в пространствах Lp.
  32. Абсолютно непрерывные функции и их свойства (арифметические свойства, абсолютная непрерывность композиции f(g (x)), где f и g – абсолютно непрерывны и g монотонна).
  33. Абсолютно непрерывные функции и функции ограниченной вариации. N-свойство Лузина. Теорема Банаха-Зарецкого (без доказательства достаточности).
  34. Лемма Витали.
  35. Теорема о дифференцировании интеграла Лебега по переменному верхнему пределу.
  36. Восстановление абсолютно непрерывной функции по ее производной с помощью интеграла Лебега. Замена переменной и интегрирование по частям в интеграле Лебега.
  37. Прямые произведения мер(б/д). Теорема Фубини (б/д).